Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以每秒

3

厘米的速度運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動(dòng)，且始終保持MQ丄MP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說(shuō)明理由：
（2）若∠ABC=60°，AB=4

3

厘米．
①求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
②設(shè)△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）可以證明兩個(gè)三角形中的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形一定相似；
（2）①若BP=

3

，根據(jù)△PBM∽△QNM，求得NQ的長(zhǎng)，即Q一分鐘移動(dòng)的距離，即Q的速度；
②分別用時(shí)間t表示出AP，AQ的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的面積即可求得函數(shù)解析式．

解答：解：（1）相似．
證明：∵M(jìn)N⊥BC交AC于點(diǎn)N，MQ丄MP，
∴∠BMN=∠PMQ=90°，
即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，
∴∠PMB=∠NMQ，
∵△ABC與△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，
∴△ABC∽△MNC，
∴∠B=∠MNC，
∴△PBM∽△QNM；

（2）①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4

3

厘米，
則BC=8

3

cm，AC=12cm．
由M為BC中點(diǎn)，得BM=CM=4

3

（cm），
若BP=

3

cm．
∵在Rt△CMN中，∠CMN=90°，∠MCN=30°，
∴NC=

CM

cos30°

=8cm，
∵△PBM∽△QNM，
∴

MN

BM

=

NQ

BP

，
即NQ=1，
則求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒鐘1cm．
②AP=AB-BP=4

3

-

3

t，
AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，
則當(dāng)0＜t＜4時(shí)，△APQ的面積為：S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（4

3

-

3

t）（4+t）=

16 3 - 3 t2

2

，
當(dāng)t＞4時(shí)，AP=

3

t-4

3

=（t-4）

3

．
則△APQ的面積為：S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（

3

t-4

3

）（4+t）=

3 t2-16 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形與函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用時(shí)間t正確表示出題目中線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．