Question

如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒4cm，的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，BP=CQ
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC
（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分別用x表示出線(xiàn)段BP和CQ的長(zhǎng)，根據(jù)其相等求得x的值即可；
（2）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時(shí)間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值．
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論．已知了∠A和∠C對(duì)應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況來(lái)求x的值．

解答：解：（1）依題意可得：BP=20-4x，CQ=3x
當(dāng)BP=CQ時(shí)，20-4x=3x
∴x=

20

7

（秒）
答：當(dāng)x=

20

7

秒時(shí)，BP=CQ   
（2）AP=4x，AB=20，AQ=30-3x，AC=30
所以當(dāng)PQ‖BC時(shí)，有

AP

AB

=

AQ

AC

即：

4x

20

=

30-3x

30

…（4分）
解得：x=

10

3

（秒）
答：當(dāng)x=

10

3

秒時(shí)，PQ‖BC             
（3）能．
①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，有

AP

CQ

=

AQ

CB

即：

4x

3x

=

30-3x

20

解得：x=

10

9

（秒）                   
②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，有

AP

CB

=

AQ

CQ

即：

4x

20

=

30-3x

3x

解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去）
答：當(dāng)x=

10

9

秒或x=5秒時(shí)，△APQ與△CQB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出線(xiàn)段比或面積比是解題的關(guān)鍵．