如圖所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)精英家教網(wǎng);同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x.
(1)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC;
(2)當(dāng)
S△BCQ
S△ABC
=
1
3
,求
S△BPQ
S△ABC
的值;
(3)△APQ能否與△CQB相似?若能,求出AP的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)當(dāng)PQ∥BC時(shí),根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得出關(guān)于AP,PQ,AB,AC的比例關(guān)系式,我們可根據(jù)P,Q的速度,用時(shí)間x表示出AP,AQ,然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值.
(2)我們先看當(dāng)
S△BCQ
S△ABC
=
1
3
時(shí)能得出什么條件,由于這兩個(gè)三角形在AC邊上的高相等,那么他們的底邊的比就應(yīng)該是面積比,由此可得出CQ:AC=1:3,那么CQ=10cm,此時(shí)時(shí)間x正好是(1)的結(jié)果,那么此時(shí)PQ∥BC,由此可根據(jù)平行這個(gè)特殊條件,得出三角形APQ和ABC的面積比,然后再根據(jù)三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來(lái)得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比.
(3)本題要分兩種情況進(jìn)行討論.已知了∠A和∠C對(duì)應(yīng)相等,那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況來(lái)求x的值.
解答:解:(1)由題意得,PQ平行于BC,則AP:AB=AQ:AC,AP=4x,AQ=30-3x
4x
20
=
30-3x
30

∴x=
10
3


(2)∵S△BCQ:S△ABC=1:3
∴CQ:AC=1:3,CQ=10cm精英家教網(wǎng)
∴時(shí)間用了
10
3
秒,AP=
40
3
cm,
∵由(1)知,此時(shí)PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC,相似比為
2
3
,
∴S△APQ:S△ABC=4:9
∴四邊形PQCB與三角形ABC面積比為5:9,即S四邊形PQCB=
5
9
S△ABC,
又∵S△BCQ:S△ABC=1:3,即S△BCQ=
1
3
S△ABC,
∴S△BPQ=S四邊形PQCB-S△BCQ
5
9
S△ABC-
1
3
S△ABC=
2
9
S△ABC
∴S△BPQ:S△ABC=2:9=
2
9


(3)假設(shè)兩三角形可以相似
情況1:當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí),CQ:AP=BC:AQ,即有
3x
4x
=
20
30-3x
解得x=
10
9
,
經(jīng)檢驗(yàn),x=
10
9
是原分式方程的解.
此時(shí)AP=
40
9
cm,
情況2:當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí),CQ:AQ=BC:AP,即有
3x
30-3x
=
20
4x
解得x=5,
經(jīng)檢驗(yàn),x=5是原分式方程的解.
此時(shí)AP=20cm.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)FG•BE=CE•AE.

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15、如圖所示,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AB和AC,交BC于D、E,若∠DAE=50°,則∠BAC=
115
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19
cm.

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(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后,P、Q兩點(diǎn)的距離為5
2
cm?
(2)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后,△PCQ面積為15cm2

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