【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與y軸交于點A,與x軸交于點B,且∠BAO=30°,現(xiàn)將△OAB沿直線AB翻折,得到△CAB. 連接OC交AB于點D.

1)求證:ADOC,ODOA ;

2)若RtAOB的斜邊AB,則OB_____;OA_____;點C的坐標(biāo)為_______;

3)在(2)的條件下,動點F從點O出發(fā),以2個單位長度/秒的速度沿折線O﹣A﹣C向終點C運動,設(shè)FOB的面積為SS0),點F的運動時間為t秒,求St的關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;

4)在(3)的條件下,過點BBEx軸,交AC于點E,在動點F的運動過程中,當(dāng)t為何值時,BEF是以BE為腰的等腰三角形?

【答案】 (1)見解析; (2),6, ,3 (3) ;(4) 當(dāng)t13時,BEF是以BE為腰的等腰三角形.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到△OAC是等邊三角形;結(jié)合等邊三角形的“三線合一”的性質(zhì)證得結(jié)論;
(2)如圖1,過C點作CH⊥x軸于H點,在直角△OCH中,利用三角函數(shù)求得CHOH,則C的坐標(biāo)即可求得;
(3)分成當(dāng)0<t≤33<t≤6兩種情況,利用三角形的面積公式即可求解;
(4)分成B是頂角頂點和E是頂角頂點兩種情況進行討論.

試題解析:

1由折疊得性質(zhì)得: CAOA, CBOBBAC=∠BAO30°,ACB=∠AOB90°

∴ ∠ABC=∠ABO=60°,

∴ △OAC是等邊三角形

∴OCOA ,

∵ ∠DAC=DAO

ADOCODOC ;

ADOCODOA

2 OB; OA6; C,3);

3分兩種情況討論:

①當(dāng)0<t≤3時,如圖1 OF2t ;

②當(dāng)3t6時,如圖2, AF2t﹣6, 過點FFGOAG,

, OGOA AG6t39t,

;

綜上所述:

4分兩種情況討論:

① 當(dāng)腰BEBF時, 如圖3,

∵BE∥OA ,

∴∠ABE∠OAB30° ,

∴∠EBA∠EAB30°

∴BEAE ∠EBC=630°30° ,

∵在Rt△BOFRt△BCEBFBE ,BOBC ,

△BOF≌△BCE,(HL

∴OFCE ∠FBO∠EBC30°

∠EBF=1230°30°60° ,

此時△BEF為等邊三角形.BF=AF,

Rt△FBO 中,∵ ∠FBO30°

FOBFAF,

∴AF2 FO

∴AO3FO

∴3FO=6,

∴ FO2 ,

∴ 2t2,

此時t=1,

②當(dāng)腰BEFE時,由上可知,點F使得△BEF為等邊三角形 F運動與A點重合,

2t2,或者 2t6,

∴ 此時 t1,或 t3,;

綜上所述,當(dāng)t13時,△BEF是以BE為腰的等腰三角形.

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