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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,有一條直線lx軸、y軸分別交于點M、N,一個高為3的等邊三角形ABC,邊BCx軸上,將此三角形沿著x軸的正方向平移.

1)在平移過程中,得到△A1B1C1,此時頂點A1恰落在直線l上,寫出A1點的坐標   ;

2)繼續(xù)向右平移,得到△A2B2C2,此時它的外心P恰好落在直線l上,求P點的坐標;

3)在直線l上是否存在這樣的點,與(2)中的A2、B2C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形?如果存在,求出點的坐標;如果不存在,說明理由.

【答案】解:(1)(,3)。

2P3,1)。

3)存在四個點,與(2)中的A2、B2、C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形,分別是P3,1),Q,3),S4﹣3,),R4+3,)。

【解析】

試題(1等邊三角形ABC的高為3∴A1點的縱坐標為3。

頂點A1恰落在直線l上,,解得;x=

∴A1點的坐標是(,3)。

2)設Px,y),連接A2P并延長交x軸于點H,連接B2P,先求出A2B2=2,HB2=,根據點P是等邊三角形A2B2C2的外心,得出PH=1,將y=1代入,即可得出點P的坐標。

Pxy),連接A2P并延長交x軸于點H,連接B2P,

在等邊三角△A2B2C2中,高A2H=3

∴A2B2=2,HB2=

P是等邊三角形A2B2C2的外心,

∴∠PB2H=30°

∴PH=1,即y=1

y=1代入,解得:x=3

∴P3,1)。

3)分四種情況分別討論。

P是等邊三角形A2B2C2的外心,

∴△PA2B2,△PB2C2,△PA2C2是等腰三角形,

P滿足的條件,由(2)得P31)。

由(2)得,C24,0),點C2滿足直線的關系式,C2與點M重合。

∴∠PMB2=30°

設點Q滿足的條件,△QA2B2△B2QC2,△A2QC2能構成等腰三角形,

此時QA2=QB2B2Q=B2C2,A2Q=A2C2。

QD⊥x軸與點D,連接QB2,

∵QB2=2,∠QB2D=2∠PMB2=60°,∴QD=3,∴Q,3)。

設點S滿足的條件,△SA2B2,△C2B2S△C2PA2是等腰三角形,

此時SA2=SB2,C2B2=C2S,C2A2=C2S。

SF⊥x軸于點F,

∵SC2=2,∠SB2C2=∠PMB2=30°∴SF=。∴S4﹣3,)。

設點R滿足的條件,△RA2B2,△C2B2R,△C2A2R能構成等腰三角形,

此時RA2=RB2,C2B2=C2R,C2A2=C2R

RE⊥x軸于點E,

∵RC2=2∠RC2E=∠PMB2=30°,∴ER=∴R4+3,)。

綜上所述,存在四個點,與(2)中的A2、B2C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形,分別是P3,1),Q3),S4﹣3,),R4+3,)。

練習冊系列答案
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