Question

【題目】在學(xué)習(xí)絕對(duì)值后，我們知道，表示數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離. 如：表示5在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．而，即表示5、0在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.類似的，有：表示5、3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示5、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離. 一般地，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，那么A、B之間的距離可表示為．

請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是______；數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是 ；

（2）數(shù)軸上P、Q兩點(diǎn)的距離為3，且點(diǎn)P表示的數(shù)是2，則點(diǎn)Q表示的數(shù)是___________.

（3）點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為 ；

（4）滿足的整數(shù)的值為 .

（5）的最小值為 .

Answer 1

【答案】（1）3；4；（2）5或-1；（3）|x+3|+|x-1|；（4）符合題意的整數(shù)的值為-2、-1、0、1、2、3；（5）2500.

【解析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式直接計(jì)算即可；（2）設(shè)點(diǎn)Q表示的點(diǎn)為x，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于x的方程，解方程即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式可求A到B的距離與A到C的距離之和；（4）利用分類討論的方法可以解答本題；（5）當(dāng)絕對(duì)值的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，取得最小值x是其中間項(xiàng)，而當(dāng)絕對(duì)值的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則x取中間兩項(xiàng)結(jié)果一樣．從而得出對(duì)于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|，當(dāng)50≤x≤51時(shí)取得最小值．

解：（1）根據(jù)題意，得：|5-2|=3；|1-（-3）|=4，

（2）設(shè)點(diǎn)Q表示的點(diǎn)為x，根據(jù)題意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案為：5或-1；

（3）A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+3|+|x-1|；

（4）∵|x-3|+|x+2|=5，
∴當(dāng)x＞3時(shí)，化簡得:x-3+x+2=5，得x=3；
當(dāng)-2≤x≤3時(shí)，化簡得:3-x+x+2=5，所以整數(shù)的值為-2、-1、0、1、2、3；
當(dāng)x＜-2時(shí)，3-x-x-2=5，得x=-2；

所以符合題意的整數(shù)的值為-2、-1、0、1、2、3．

（5）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=（|x-1|+|x-100|）+（|x-2|+|x-99|）+…+（|x-50|+|x-51|），其中：|x-1|+|x-100|表示數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到表示1、100兩點(diǎn)的距離之和，所以當(dāng)1≤x≤100時(shí)，|x-1|+|x-100|值最小，當(dāng)1≤x≤100時(shí)，|x-1|+|x-100|=x-1+100-x=99,故有最小值為|100-1|=99；

同理：|x-2|+|x-99|表示數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到表示2、99兩點(diǎn)的距離之和，
當(dāng)2≤x≤99時(shí)，|x-2|+|x-99|=x-2+99-x=97,故有最小值為|99-2|=97；…
|x-50|+|x-51|表示數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到表示50、51兩點(diǎn)的距離之和，
當(dāng)50≤x≤51時(shí)，|x-50|+|x-51|有最小值為|51-50|=1．

綜上所述，當(dāng)50≤x≤51時(shí)，每個(gè)括號(hào)里 兩個(gè)絕對(duì)值式子的和的值最小，所以，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|有最小值為：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500．