Question

【題目】在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且∠NMB=∠MBC，則tan∠ABM=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】根據(jù)∠NMB=∠MBC,延長MN,BC相交于T,得到等腰△TBM,連接點T和MB的中點,得到相似三角形,然后由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算,求出∠ABM的正切.

如圖：延長MN交BC的延長線于T，設(shè)MB的中點為O，連TO，則OT⊥BM，

∵∠ABM+∠MBT=90°，

∠OTB+∠MBT=90°，

∴∠ABM=∠OTB，則△BAM∽△TOB，

∴=，即=，即MB2=2AMBT ①

令DN=1，CT=MD=K，則：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，

代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），

解方程得：K1=0（舍去），K2=．

∴AM=2﹣=．

tan∠ABM===．

故答案是：．