Question

【題目】一個形如的五位自然數(shù)（其中a表示該數(shù)的萬位上的數(shù)字，b表示該數(shù)的千位上的數(shù)字，c表示該數(shù)的百位上的數(shù)字，d表示該數(shù)的十位上的數(shù)字，e表示該數(shù)的個位上的數(shù)字，且），若有且，則把該自然數(shù)叫做“對稱數(shù)”，例如在自然數(shù)12321中，3=2+1，則12321是一個“對稱數(shù)”. 同時規(guī)定：若該“對稱數(shù)”的前兩位數(shù)與后兩位數(shù)的平方差被693的奇數(shù)倍，則稱該“對稱數(shù)”為“智慧對稱數(shù)”.如在“對稱數(shù)”43734中，，則43734是一個“智慧對稱數(shù)”．

（1）將一個“對稱數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將千位上與萬位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個“對稱數(shù)”為一組“相關(guān)對稱數(shù)”。例如：12321與21312為一組“相關(guān)對稱數(shù)”， 求證：任意的一組“相關(guān)對稱數(shù)”之和是最小“對稱數(shù)”的倍數(shù)；

（2）求出所有的“智慧對稱數(shù)”中的最大“智慧對稱數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）最大的“智慧對稱數(shù)”為81918.

【解析】（1）根據(jù)新定義表示一組“相關(guān)對稱數(shù)”，相加變形后可得結(jié)論；

（2）根據(jù)“智慧對稱數(shù)”表示這兩個數(shù)：10a+b和10b+a，作平方差列式：（10a+b）2-（10b+a）2=99(a2-b2)，且a2-b2被7的奇數(shù)倍整除，進行分類討論即可確定結(jié)論．

詳（1）證明：∵“對稱數(shù)”：，

“相關(guān)對稱數(shù)”：，

∴+=（10000a+1000b+100c+10d+e）+（10000b+1000a+100c+10e+d），

=11000a+11000b+200c+11e+11d，

∵c=a+b，

∴200c=200a+200b，

∵a=e，b=d，

∴+=11211a+11211b，

∴最小“對稱數(shù)”是11211，

∴（+）÷11211=a+b，

∵a、b都是正整數(shù)，

∴+能被11211整除，

∴任意的一組“相關(guān)對稱數(shù)”之和是最小“對稱數(shù)”的倍數(shù)；

（2）由（1）知五位“對稱數(shù)”形式為. 若此“對稱數(shù)”為“智慧對稱數(shù)”，

（10a+b）2-（10b+a）2=99(a2-b2)，且a2-b2被7的奇數(shù)倍整除.

∵1≤a≤9，1≤b≤9

∴-80≤a2-b2≤80，

∴a2-b2=±7，±21，±35，±42，±49，±63，±77，

當a2-b2=7時，a=4，b=3，c=7，

當a2-b2=-7時，a=3，b=4，c=7，

當a2-b2=21時，a=5，b=2，c=7；

當a2-b2=-21時，a=2，b=5，c=7；

當a2-b2=35時，a=6，b=1，c=7；

當a2-b2=-35時，a=1，b=6，c=7；

當a2-b2=49時，不符合題意；當a2-b2=-49時，不符合題意.

當a2-b2=63時，a=8，b=1，c=9；當a2-b2=-63時，a=1，b=8，c=9;

當a2-b2=77時，不符合題意；當a2-b2=-77，不符合題意.

∴所有的“智慧對稱數(shù)”為：43734,34743,52725,61716,16761,81918,18981.

∴最大的“智慧對稱數(shù)”為81918.