Question

【題目】如圖1，P是平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，以AP為邊在右側(cè)作等邊△APQ，已知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2，連結(jié)OQ交AP于B，BQ＝3OB．

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)如圖2，若過(guò)點(diǎn)P的雙曲線(k＞0)與過(guò)點(diǎn)Q垂直于x軸的直線交于D，連接PD．求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線N，根據(jù)△APQ是等邊三角形及PA⊥x軸得出∠QAN=90°-60°=30°，因?yàn)辄c(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2，根據(jù)解直角三角形可求出AQ與AN的值，根據(jù)△AOB∽△ONQ和BQ＝3OB可得OA的值，繼而可得點(diǎn)P坐標(biāo)；

（2）設(shè)DQ的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)P平行于x軸的直線交于點(diǎn)E，將P(,4)代入可得雙曲線解析式，由（1）得D點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入解析式即可求出D的縱坐標(biāo)，即DN的長(zhǎng)，從而得到DE的長(zhǎng)，在Rt△PED中，PE=AN，=，將值代入即可求解．

解：（1）過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線N

∵△APQ是等邊三角形

∴∠PAQ=60°

∵PA⊥x軸

∴∠QAN=90°-60°=30°

∵點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2

∴QN=2

∴

AN===

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4

∵PA⊥x軸，QN⊥x軸

∴△AOB∽△ONQ

∴

∵BQ＝3OB

∴==3

∴OA=

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)．

故答案為(,4)．

（2）設(shè)DQ的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)P平行于x軸的直線交于點(diǎn)E

將P(,4)代入，得

解得k=

∴雙曲線解析式為

由（1）知N點(diǎn)橫坐標(biāo)為+=

即D點(diǎn)橫坐標(biāo)為

∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為

∴DN=1

∴DQ=QN-DN=2-1=1

∴DE=4-1=3

在Rt△PED中，PE=AN=

∴==．

故答案為．