【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,PBA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)C在⊙O上,連接PCD為半徑OA上一點(diǎn),PDPC,連接CD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,且E的中點(diǎn).

1)求證:PC是⊙O的切線;

2)若AB8,CDDE15,求PA的長(zhǎng).

【答案】1)詳見解析;(2

【解析】

1)連接OC,OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEC=OCE,求得∠E+ODE=90°,得到∠PCD=ODE,得到OCPC,于是得到結(jié)論;
2)連接AC,BE,BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,推出CDDE=AO2-OD2;由ACP∽△CBP,得到,得到PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2,把已知條件代入得到OD=1(負(fù)值舍去),求得AD=3,由CDDE=2ODPD,于是得到結(jié)論.

1)證明:連接OC,OE,


OC=OE,
∴∠OEC=OCE
E的中點(diǎn),
,
∴∠AOE=BOE=90°
∴∠OEC+ODE=90°,
PC=PD
∴∠PCD=PDC,
∵∠PDC=ODE
∴∠PCD=ODE,
∴∠PCD+OCD=ODE+OEC=90°
OCPC,
PC是⊙O的切線;
2)證明:連接ACBE,BC
∵∠ACD=DBE,∠CAD=DEB,
∴△ACD∽△EBD,
,
CDDE=ADBD=AO-OD)(AO+OD=AO2-OD2;
AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠PCO=90°,
∴∠ACP+ACO=ACO+BCO=90°
∴∠ACP=BCO
∵∠BCO=CBO,
∴∠ACP=PBC,
∵∠P=P
∴△ACP∽△CBP,
,
PC2=PBPA=PD+DB)(PD-AD

=PD+OD+OA)(PD+OD-OA

=PD+OD2-OA2

=PD2+2PDOD+OD2-OA2,
PC=PD
PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2,
OA2-OD2=2ODPD,
CDDE=2ODPD

AB=8,
OA=4
CDDE=AO2-OD2;
CDDE=15,
15=42-OD2,
OD=1(負(fù)值舍去),
AD=3,
CDDE=2ODPD,
PD=
PA=PD-AD=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)①在平行四邊形,矩形,菱形,正方形中,一定是十字形的有_________;②在凸四邊形中,,則該四邊形_________“十字形.(填不是

2)如圖1,,,是半徑為1上按逆時(shí)針方向排列的四個(gè)動(dòng)點(diǎn),交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的取值范圍;

3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線,,為常數(shù),,)與軸交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),是拋物線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,記十字形的面積為,記,的面積分別為,,.求同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的拋物線的解析式:①;②;③十字形的周長(zhǎng)為

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2)如圖2,連接.若的面積為4,求的面積;

3)如圖3,點(diǎn)為線段中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),在繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的最小值.

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2)當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)(60°θ120°),求∠BOE的度數(shù);

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