Question

已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三點，一動點P從原點出發(fā)以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，連接BP，過點A作直線BP的垂線交y軸于點Q．設(shè)點P的運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)BQ=AP時，求t的值；

（3）隨著點P的運動，拋物線上是否存在一點M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請直接寫t的值及相應(yīng)點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，

∵拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三點，

∴，

解得 ，

∴y=﹣x²﹣x+2．

（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，

∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，

∵AO=BO=2，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OQ=OP=t．

①如圖1，當(dāng)t≤2時，點Q在點B下方，此時BQ=2﹣t，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴2﹣t=（2+t），

∴t=．

②如圖2，當(dāng)t＞2時，點Q在點B上方，此時BQ=t﹣2，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴t﹣2=（2+t），

∴t=6．

綜上所述，t=或6時，BQ=AP．

（3）當(dāng)t=﹣1時，拋物線上存在點M（1，1）；當(dāng)t=3+3時，拋物線上存在點M（﹣3，﹣3）．

分析如下：

∵AQ⊥BP，

∴∠QAO+∠BPO=90°，

∵∠QAO+∠AQO=90°，

∴∠AQO=∠BPO．

在△AOQ和△BOP中，

，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OP=OQ，

∴△OPQ為等腰直角三角形，

∵△MPQ為等邊三角形，則M點必在PQ的垂直平分線上，

∵直線y=x垂直平分PQ，

∴M在y=x上，設(shè)M（x，y），

∴，

解得  或 ，

∴M點可能為（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如圖3，當(dāng)M的坐標(biāo)為（1，1）時，作MD⊥x軸于D，

則有PD=|1﹣t|，MP²=1+|1﹣t|²=t²﹣2t+2，PQ²=2t²，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t²+2t﹣2=0，

∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（負(fù)值舍去）．

②如圖4，當(dāng)M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3）時，作ME⊥x軸于E，

則有PE=3+t，ME=3，

∴MP²=3²+（3+t）²=t²+6t+18，PQ²=2t²，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t²﹣6t﹣18=0，

∴t=3+3，t=3﹣3（負(fù)值舍去）．

綜上所述，當(dāng)t=﹣1+時，拋物線上存在點M（1，1），或當(dāng)t=3+3時，拋物線上存在點M（﹣3，﹣3），使得△MPQ為等邊三角形．