分析:(1)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)i)首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度,作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ).
若△MPQ為等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:
①當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為
2.此時(shí),將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線(y=x-5)與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn);
②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為
.此時(shí),將直線AC向右平移2個(gè)單位后所得直線(y=x-3)與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn).
ii)由(i)可知,PQ=
2為定值,因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí),
有最大值.
如答圖2所示,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,由分析可知,當(dāng)B′、Q、F(AB中點(diǎn))三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為線段B′F的長度.
解答:解:(1)∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1),C的坐標(biāo)為(4,3)
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,-1).
∵拋物線過A(0,-1),B(4,-1)兩點(diǎn),
∴
,解得:b=2,c=-1,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=
-x
2+2x-1.
(2)i)∵A(0,-1),C(4,3),
∴直線AC的解析式為:y=x-1.
設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P
0,則由(1)可得P
0的坐標(biāo)為(2,1),且P
0在直線AC上.
∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),∴可設(shè)P的坐標(biāo)為(m,m-1),
則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=
-(x-m)
2+m-1.
解方程組:
,
解得
,
∴P(m,m-1),Q(m-2,m-3).
過點(diǎn)P作PE∥x軸,過點(diǎn)Q作QE∥y軸,則
PE=m-(m-2)=2,QE=(m-1)-(m-3)=2.
∴PQ=
2=AP
0.
若以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:
①當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為
2(即為PQ的長).
由A(0,-1),B(4,-1),P
0(2,1)可知,
△ABP
0為等腰直角三角形,且BP
0⊥AC,BP
0=
2.
如答圖1,過點(diǎn)B作直線l
1∥AC,交拋物線y=
-x
2+2x-1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).
∴可設(shè)直線l
1的解析式為:y=x+b
1,
∵B(4,-1),∴-1=4+b
1,解得b
1=-5,
∴直線l
1的解析式為:y=x-5.
解方程組
,得:
,
∴M
1(4,-1),M
2(-2,-7).
②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):MP=MQ=2,可求得點(diǎn)M到PQ的距離為
.
如答圖1,取AB的中點(diǎn)F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,-1).
由A(0,-1),F(xiàn)(2,-1),P
0(2,1)可知:
△AFP
0為等腰直角三角形,且點(diǎn)F到直線AC的距離為
.
過點(diǎn)F作直線l
2∥AC,交拋物線y=
-x
2+2x-1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).
∴可設(shè)直線l
2的解析式為:y=x+b
2,
∵F(2,-1),∴-1=2+b
2,解得b
2=-3,
∴直線l
2的解析式為:y=x-3.
解方程組
,得:
,
∴M
3(1+
,-2+
),M
4(1-
,-2-
).
綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:
M
1(4,-1),M
2(-2,-7),M
3(1+
,-2+
),M
4(1-
,-2-
).
ii)
存在最大值.理由如下:
由i)知PQ=
2為定值,則當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí),
有最大值.
如答圖2,取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(0,3),BQ=B′Q.
連接QF,F(xiàn)N,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四邊形PQFN為平行四邊形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=
=
2.
∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為
2.
∴
的最大值為
=
.