Question

7．如圖1，拋物線的頂點D在y軸上，與x軸交于A，B兩點，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與$\widehat{AB}$所圍成的封閉圖形稱為“鍋線”，頂點D稱為“鍋底”，點D到線段AB的距離稱為“鍋深”上面的$\widehat{AB}$稱為“鍋蓋”，$\widehat{AB}$的中點C到線段AB的距離稱為“鍋蓋高”，若△ADB為等腰三角形，則此“鍋線”稱為“標準鍋線”．
（1）若圖1中的“鍋線”為“標準鍋線”，“鍋蓋高”為1dm，“鍋深”為3dm，求拋物線的解析式及$\widehat{AB}$所在圓的圓心坐標；
（2）在（1）的情況下，如圖2，若點E（-2，n）是“標準鍋線”中拋物線上的一點，且直線BE交y軸于點G，判斷△BOC與△BOG的關系，并證明你的結論；
（3）在（2）的情況下，連接OE，在x軸上是否存在點P，使以點P，B，C為頂點的△PBC與△BOE相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知A、B、D三點坐標，利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式；根據(jù)垂徑定理和勾股定理可求$\widehat{AB}$所在圓的圓心坐標；
（2）點E（-2，n）是“標準鍋線”中拋物線上的一點，代入拋物線的解析式可求E（-2，-$\frac{5}{3}$），根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1，再根據(jù)SAS可證△BOC≌△BOG；
（3）根據(jù)直線BE：y=$\frac{1}{3}$x-1知，該直線必過（0，-1）點，那么∠EBO=∠CBO，若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，那么夾這組對應角的對應邊必成比例，先求出BC、BO、BE的長，然后分情況根據(jù)線段間的比例關系求出BP的長，進而得到OP的長，即可確定P點坐標．

解答 解：（1）由于拋物線C₁、C₂都過點A（-3，0）、B（3，0），
可設它們的解析式為：y=a（x-3）（x+3）；
拋物線C1還經(jīng)過D（0，-3），則有：-3=a（0-3）（0+3），解得a=$\frac{1}{3}$．
即：拋物線C₁：y=$\frac{1}{3}$x²-3（-3≤x≤3）；
如圖1，連結AC，AC的垂直平分線交y軸于F，連結AF，
設OD=x，則AF=CF=x+1，
在Rt△AOF中，x²+3²=（x+1）²，解得x=4，
故$\widehat{AB}$所在圓的圓心坐標為（0，-4）；
（2）△BOC≌△BOG．
∵點E（-2，n）是“標準鍋線”中拋物線上的一點，
∴n=$\frac{1}{3}$×（-2）²-3=-$\frac{5}{3}$，
∴E（-2，-$\frac{5}{3}$），
設直線BE的解析式為y=kx+b（k≠0），將點B（3，0），點E（-2，-$\frac{5}{3}$）代入直線方程中，得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-2k+b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴直線BE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1．
如圖2，令x=0，得y=-1，
∴G（0，-1），
∴OG=OC，
又∵BA⊥CG，OB=OB，
在△BOC與△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OG=OC}\\{∠BOC=∠BOG}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△BOG（SAS）；
（3）如圖2，由于直線BE：y=$\frac{1}{3}$x-1必過（0，-1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=$\frac{1}{3}$）；
由E點坐標可知：tan∠AOE≠$\frac{1}{3}$，即∠AOE≠∠CBO，所以它們的補角∠EOB≠∠CBx；
若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況：
①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，即：
3：$\frac{5\sqrt{10}}{3}$=BP₁：$\sqrt{10}$，得：BP₁=$\frac{9}{5}$，OP₁=OB-BP₁=$\frac{6}{5}$；
∴P₁（$\frac{6}{5}$，0）；
②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：$\sqrt{10}$：BP₂=3：$\frac{5\sqrt{10}}{3}$，得：BP₂=$\frac{50}{9}$，OP₂=BP₂-OB=$\frac{23}{9}$；
∴P₂（-$\frac{23}{9}$，0）．
綜上所述，符合條件的P點有：P₁（$\frac{6}{5}$，0）、P₂（-$\frac{23}{9}$，0）．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題．該題的難度和計算量都比較大，關鍵是熟練掌握函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質等重點知識；解答（2）題時，應注意分不同的對應邊來進行討論，以免漏解．