【題目】定義:如圖1,拋物線與軸交于A,B兩點,點P在拋物線上(點P與A,B兩點不重合),如果△ABP的三邊滿足,則稱點P為拋物線的勾股點。
(1)直接寫出拋物線的勾股點的坐標;
(2)如圖2,已知拋物線C:與軸交于A,B兩點,點P(1,)是拋物線C的勾股點,求拋物線C的函數(shù)表達式;
(3)在(2)的條件下,點Q在拋物線C上,求滿足條件的點Q(異于點P)的坐標
【答案】(1)(0,1);(2)y=﹣x2+x;(3)(3,)或(2+,﹣)或(2﹣,﹣).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線勾股點的定義即可求解;
(2)作PG⊥x軸,由P點坐標求得AG=1、PG=、 PA=2,由tan∠PAB=知∠PAG=60°,從而求得AB=4,即B(4,0),運用待定系數(shù)法即可求解;
(3)由SΔABQ=SΔABP且兩三角形同底,可知點Q到x軸的距離為,據(jù)此可求解.
試題解析: (1)拋物線y=﹣x2+1的勾股點的坐標為(0,1);
(2)拋物線y=ax2+bx過原點,即點A(0,0),
如圖,作PG⊥x軸于點G,
∵點P的坐標為(1,),
∴AG=1、PG=,PA==2,
∵tan∠PAB=,
∴∠PAG=60°,
在Rt△PAB中,AB=,
∴點B坐標為(4,0),
設y=ax(x﹣4),
將點P(1,)代入得:a=﹣,
∴y=﹣x(x﹣4)=﹣x2+x;
(3)①當點Q在x軸上方時,由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱坐標為,
則有﹣x2+x =,
解得:x1=3,x2=1(不符合題意,舍去),
∴點Q的坐標為(3,);
②當點Q在x軸下方時,由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱坐標為﹣
則有﹣x2+x =﹣,
解得:x1=2+,x2=2﹣,
∴點Q的坐標為(2+,﹣)或(2﹣,﹣);
綜上,滿足條件的點Q有3個:(3,)或(2+,﹣)或(2﹣,﹣).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)題意,解答下列問題:
(1)如圖①,已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,求線段AB的長;
(2)如圖②,類比(1)的求解過程,請你通過構(gòu)造直角三角形的方法,求出兩點M(3,4),N(﹣2,﹣1)之間的距離;
(3)如圖③,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是平面直角坐標系內(nèi)的兩點,請你利用圖③構(gòu)造直角三角形,并直接寫出P1P2的長度(用含有x1 , x2 , y1 , y2的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下列各組線段為邊,能組成三角形的是( )
A. 2cm、2cm、4cmB. 2cm、6cm、3cm
C. 8cm、6cm、3cmD. 11cm、4cm、6cm
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.
(1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求對角線BD的長.
②若AC⊥BD,求證:AD=CD;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點P是對角線BD上一點,且BP=2PD,過點P作直線分別交邊AD,BC于點E,F(xiàn),使四邊形ABFE是等腰直角四邊形,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】位于環(huán)水東灣新城區(qū)的茂名市第一中學新校區(qū)占地面積約為536.5畝.將536.5用科學記數(shù)法可表示為( )
A.0.5365×103
B.5.365×102
C.53.65×10
D.536.5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于有理數(shù)a、b定義一種新運算,規(guī)定a☆b=a2﹣ab.
(1)求2☆(﹣3)的值;
(2)若(﹣2)☆(3☆x)=4,求x的值.
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