【題目】定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

(1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC,ABC=90°

若AB=CD=1,ABCD,求對角線BD的長.

若ACBD,求證:AD=CD;

(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點P是對角線BD上一點,且BP=2PD,過點P作直線分別交邊AD,BC于點E,F(xiàn),使四邊形ABFE是等腰直角四邊形,求AE的長.

【答案】(1);證明見解析;(2)5或6.5.

【解析】

試題分析:(1)只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題;

只要證明ABD≌△CBD,即可解決問題;

(2)若EFBC,則AEEF,BFEF,推出四邊形ABFE表示等腰直角四邊形,不符合條件.若EF與BC不垂直,當AE=AB時,如圖2中,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,當BF=AB時,如圖3中,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,分別求解即可;

試題解析:(1)①∵AB=AC=1,ABCD,S四邊形ABCD是平行四邊形,AB=BC,四邊形ABCD是菱形,∵∠ABC=90°,四邊形ABCD是正方形,BD=AC==

(2)如圖1中,連接AC、BD.

AB=BC,ACBD,∴∠ABD=CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,AD=CD.

(2)若EFBC,則AEEF,BFEF,四邊形ABFE表示等腰直角四邊形,不符合條件.

若EF與BC不垂直,當AE=AB時,如圖2中,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,AE=AB=5.

當BF=AB時,如圖3中,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,BF=AB=5,DEBF,BF=PB=1:2,DE=2.5,AE=9﹣2.5=6.5,綜上所述,滿足條件的AE的長為5或6.5.

練習冊系列答案
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