【題目】如圖,在長方形ABCD中,AB=6,BC=8,點O在對角線AC上,且OA=OB=OC,點P是邊CD上的一個動點,連接OP,過點O作OQ⊥OP,交BC于點Q.
(1)求OB的長度;
(2)設DP= x,CQ= y,求y與x的函數(shù)表達式(不要求寫自變量的取值范圍);
(3)若OCQ是等腰三角形,求CQ的長度.
【答案】(1)5;(2);(3)當或時,⊿OCQ是等腰三角形.
【解析】
(1)利用勾股定理先求出AC的長,繼而根據(jù)已知條件即可求得答案;
(2)延長QO交AD于點E,連接PE、PQ ,先證明△AEO≌△CQO,從而得OE=OQ,AE=CQ=y,由垂直平分線的性質(zhì)可得PE=PQ,即,在Rt⊿EDP中,有,在Rt⊿PCQ中,,繼而可求得答案;
(3)分CQ=CO,OQ=CQ,OQ=OC三種情況分別進行討論即可求得答案.
(1)∵四邊形ABCD是長方形,
∴∠ABC=90°,
∴,
∴OB=OA=OC=;
(2)延長QO交AD于點E,連接PE、PQ ,
∵四邊形ABCD是長方形,
∴CD=AB=6,AD=BC=8,AD//BC,
∴∠AEO=∠CQO,
在△COQ和△AOE中,
,
∴△AEO≌△CQO(SAS),
∴OE=OQ,AE=CQ=y,
∴ED=AD-AE=8-y,
∵OP⊥OQ,
∴OP垂直平分EQ,
∴PE=PQ,
∴,
∵PD=x,
∴CP=CD-CP=6-x,
在Rt⊿EDP中,,
在Rt⊿PCQ中,,
∴,
∴;
(3)分三種情況考慮:
①如圖,若CQ=CO時,此時CQ=CO=5;
②如圖,若OQ=CQ時,作OF⊥BC,垂足為點F,
∵OB=OC,OF⊥BC,
∴BF=CF=BC=4,
∴,
∵OQ=CQ,
∴,
∴,
∴,
∴ ;
③若OQ=OC時,此時點Q與點B重合,點P在DC延長線上,此情況不成立,
綜上所示,當或時,⊿OCQ是等腰三角形.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)有一點D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,則∠BDC的度數(shù)為( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50°
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【題目】已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點C與點E重合),點B、C(E)、F在同一條直線上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.如圖(2),△DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動,在△DEF移動的同時,點P從△ABC的頂點B出發(fā),以2cm/s的速度沿BA勻速移動,當△DEF的頂點D移動到AC邊上時,△DEF停止移動,點P也隨之停止移動,DE與AC相交于點Q,連接PQ,設移動時間為t(s)(0<t<4.5).
解答下列問題:
(1)當t為何值時,點A在線段PQ的垂直平分線上?
(2)連接PE,設四邊形APEC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式,是否存在某一時刻t,使面積y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,說明理由;
(3)是否存在某一時刻t,使P、Q、F三點在同一條直線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點叫格點,ABC的頂點均在格點上.
(1)先將ABC向上平移4個單位后得到的A1B1C1,再將A1B1C1繞點C1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的A2B2 C1,在圖中畫出A1B1C1和A2B2 C1.
(2)A2B2 C1能由ABC繞著點O旋轉(zhuǎn)得到,請在網(wǎng)格上標出點O.
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【題目】如圖,矩形ABCD的面積為10cm2,它的兩條對角線交于點O1,以AB、AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1,平行四邊形ABC1O1的對角線交于點O2,同樣以AB、AO2為兩鄰邊作平行四邊形ABC2O2,…,依此類推,則平行四邊形ABCnOn的面積為( )
A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點,四邊形BCED為平行四邊形,DE,AC相交于F.連接DC,AE.
(1)試確定四邊形ADCE的形狀,并說明理由.
(2)若AB=16,AC=12,求四邊形ADCE的面積.
(3)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE為正方形?請給予證明.
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【題目】已知∠AOD=160°,OB、OC、OM、ON是∠AOD內(nèi)的射線.
(1)如圖1,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD.當OB繞點O在∠AOD內(nèi)旋轉(zhuǎn)時,求∠MON的大。
(2)如圖2,若∠BOC=20°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.當∠BOC繞點O在∠AOD內(nèi)旋轉(zhuǎn)時,求∠MON的大。
(3)在(2)的條件下,若∠AOB=10°,當∠B0C在∠AOD內(nèi)繞著點O以2度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)t秒時,∠AOM=∠DON.求t的值.
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【題目】小華將一條直角邊長為1的一個等腰直角三角形紙片(如圖1),沿它的對稱軸折疊1次后得到一個等腰直角三角形(如圖2),再將圖2的等腰直角三角形沿它的對稱軸折疊后得到一個等腰直角三角形(如圖3),則圖3中的等腰直角三角形的一條腰長為_________;同上操作,若小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形(如圖n+1)的一腰長為_________.
圖1 圖2 圖3 圖n+1
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