Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.
（Ⅰ）請寫出AF與BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么，并證明.
（Ⅱ）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)閮蓚�等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明；

Answer 1

【答案】試題
【解析】（Ⅰ）AF=BE，AF⊥BE. 證明參考（Ⅱ）
（Ⅱ）結(jié)論成立.

證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.
在△EAD和△FDC中，
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF +∠BAF=90°，
∴∠ABE +∠BAF=90°，
∴AF⊥BE.
（Ⅰ）根據(jù)SAS易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數(shù)量關(guān)系是AF=BE，位置關(guān)系是AF⊥BE； （Ⅱ）成立，證明△ADE≌△DCF，然后證明△ABE≌△ADF即可證得BE=AF，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠AMB=90°，從而結(jié)論得證.
【考點精析】關(guān)于本題考查的三角形的內(nèi)角和外角，需要了解三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能得出正確答案．