Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P在邊AD上以每秒2個(gè)單位的速度從A出發(fā)，沿AD向D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在邊BD上以每秒5個(gè)單位的速度從D出發(fā)，沿DB向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：當(dāng)某一時(shí)刻t，使得t＝1時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離PQ＝　 　；

（2）是否存在以P、D、Q中一點(diǎn)為圓心的圓恰好過另外兩個(gè)點(diǎn)？若存在求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，t的值為s或s或s．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAD＝90°，根據(jù)勾股定理得到BD＝10，過Q作QE⊥AD于E，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EQ＝AB＝3，PE＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

（2）由題意得到AP＝2t，DQ＝5t，PD＝8﹣2t，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到QE＝3t，根據(jù)勾股定理得到PQ＝，當(dāng)D是圓心時(shí)，PD＝DQ，當(dāng)P是圓心時(shí)，PD＝PQ，當(dāng)Q是圓心時(shí)，PQ＝DQ，列方程即可得到結(jié)論．

（1）∵t＝1，

∴AP＝2，DQ＝5，

∴PD＝6，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝6，BC＝8，

∴BD＝10，

∴Q為BD的中點(diǎn)，

過Q作QE⊥AD于E，

∴QE∥AB，

∴AE＝DE＝4，

∴EQ＝AB＝3，PE＝2，

∴PQ＝＝；

故答案為：；

（2）存在，

理由：∵AP＝2t，DQ＝5t，

∴PD＝8﹣2t，

由（1）知，QE∥AB，

∴，

∴，

∴QE＝3t，

∴DE＝4t，

∴PE＝8﹣6t，

∴PQ＝，

當(dāng)D是圓心時(shí)，PD＝DQ，

∴8﹣2t＝5t，

解得：t＝；

當(dāng)P是圓心時(shí)，PD＝PQ，

∴8﹣2t＝，

解得：t＝，或t＝0（舍去）；

當(dāng)Q是圓心時(shí)，PQ＝DQ，

∴5t＝，

解得：t＝或t＝4（舍去），

綜上所述：t的值為s或s或s．