【題目】如圖①,直線L:y=mx+n(m<0,n>0)與x,y軸分別相交于A,B兩點,將△AOB繞點O逆時針旋轉90°,得到△COD,過點A,B,D的拋物線P叫做L的關聯(lián)拋物線,而L叫做P的關聯(lián)直線.
(1)若L:y=-x+2,則P表示的函數(shù)解析式為______;若P:,則表示的函數(shù)解析式為_______.
(2)如圖②,若L:y=-3x+3,P的對稱軸與CD相交于點E,點F在L上,點Q在P的對稱軸上.當以點C,E,Q,F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時,求點Q的坐標;
(3)如圖③,若L:y=mx+1,G為AB中點,H為CD中點,連接GH,M為GH中點,連接OM.若OM=,求出L,P表示的函數(shù)解析式.
【答案】(1);y=﹣2x+4;(2)Q坐標為Q1(﹣1,)、Q2(﹣1,);(3)y=﹣3x+1;y=﹣3x2﹣2x+1.
【解析】
(1)若l:y=-x+2,求出點A、B、D的坐標,利用待定系數(shù)法求出P表示的函數(shù)解析式;若P:,求出點D、A、B的坐標,再利用待定系數(shù)法求出l表示的函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)對稱軸的定義解答即可;
(3)以點C,E,Q,F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時,則有FQ∥CE,且FQ=CE.以此為基礎,列方程求出點Q的坐標.注意:點Q的坐標有兩個,如答圖所示,不要漏解;
(4)如答圖所示,作輔助線,構造等腰直角三角形OGH,求出OG的長度,進而由AB=2OG求出AB的長度,再利用勾股定理求出y=mx+1中m的值,最后分別求出l,P表示的函數(shù)解析式.
解:(1);y=﹣2x+4.
(2)若:y=﹣3x+3,則A(1,0)、B(0,3),
∴C(0,1)、D(﹣3,0).求得直線CD的解析式為:y=x+1.可求得的對稱軸為x=﹣1.
∵以點C,E,Q,F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形,
∴FQ∥CE,且FQ=CE.
設直線FQ的解析式為:y=x+b.∵點E、點C的橫坐標相差1,
∴點F、點Q的橫坐標也是相差1.則|xF﹣(﹣1)|=|xF+1|=1,解得xF=0或xF=﹣2.
∵點F在直線:y=﹣2x+4上,
∴點F坐標為(0,3)或(﹣2,9).
若F(0,3),則直線FQ為:y=x+3,
當x=﹣1時,y=,∴Q1(﹣1,).
若F(﹣2,9),則直線FQ為:,
當x=﹣1時,y= ,∴Q2(﹣1,).
∴滿足條件的點Q有2個,如答圖1所示,點Q坐標為Q1(﹣1,)、Q2(﹣1,).
(3)如圖2所示,連接OG、OH.∵點G、H為斜邊中點,
∴OG=AB,OH=CD.
由旋轉性質可知,AB=CD,OG⊥OH,
∴△OGH為等腰直角三角形.
∵點G為GH中點,
∴△OMG為等腰直角三角形.
∴OG=OM==.
∴AB=2OG=.
∵:y=mx+1,
∴A(,0),B(0,1).
在Rt△AOB中,由勾股定理得:OA2+OB2=AB2,即:()2+12=()2,
解得:m=﹣3或m=3.
∵點B在y軸正半軸,
∴m=3舍去,
∴m=﹣3.
∴表示的函數(shù)解析式為:y=﹣3x+1;
∴B(0,1),D(﹣1,0).又A(,0),
利用待定系數(shù)法求得:y=﹣3x2﹣2x+1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Q是弧AB與弦AB所圍成的圖形的內部的一定點,P是弦AB上一動點,連接PQ并延長交弧AB于點C,連接BC.已知AB=6cm,設A,P兩點間的距離為xcm,P,C兩點間的距離為y1cm,A,C兩點間的距離為y2cm.
小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,分別對函數(shù)y1,y2,隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.
下面是小明的探究過程,請補充完整:
(1)確定自變量x的取值范圍是 .
(2)按下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了y1,y2與x的幾組對應值.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 5.62 | 4.67 | 3.76 | 2.65 | 3.18 | 4.37 | |
y2/cm | 5.62 | 5.59 | 5.53 | 5.42 | 5.19 | 4.73 | 4.11 |
(3)在同一平面直角坐標系xOy中,描出補全后的表中各組數(shù)值所對應的點(x,y1),(x,y2),并面出函數(shù)y1,y2的圖象.
(4)結合函數(shù)圖象,解決問題:當△APC為等腰三角形時,AP的長度約為 cm.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖矩形紙片ABCD中,,,P是邊BC上的動點,現(xiàn)將紙片折疊,使點A與點P重合,折痕與矩形邊的交點分別是E、F,要使折痕始終與邊AB、AD有交點,則BP的取值范圍是______.
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【題目】如圖,已知點E,F(xiàn)分別是ABCD的邊BC,AD上的中點,且∠BAC=90°,若∠B=30°,BC=10,則四邊形AECF的面積為__.
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【題目】若平面直角坐標系內的點M滿足橫、縱坐標都為整數(shù),則把點M叫做“整點”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整點”.拋物線y=mx2﹣4mx+4m-2(m0)與x軸交于點A、B兩點,若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域(包括邊界)恰有七個整點,則m的取值范圍是( )
A. <m≤1B. ≤m<1C. 1<m≤2D. 1<m<2
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【題目】將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個盒子中,盒子的形狀、大小、質地都相同,再將這3個盒子裝入一只不透明的袋子中.
(1)攪勻后從中摸出1個盒子,求摸出的盒子中是型矩形紙片的概率;
(2)攪勻后先從中摸出1個盒子(不放回),再從余下的兩個盒子中摸出一個盒子,求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的概率(不重疊無縫隙拼接).
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,已知點的坐標為.
(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線,它與軸和軸的正半軸分別交于點和點,且與關于直線對稱.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡.)
(2)請求出(1)中作出的直線的函數(shù)表達式.
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【題目】 隨著新學校建成越來越多,絕大部分孩子已能就近入學,某數(shù)學學習興趣小組對八年級(1)班學生上學的交通方式進行問卷調查,并將調查結果畫出下列兩個不完整的統(tǒng)計圖(圖1、圖2).請根據(jù)圖中的信息完成下列問題.
(1)該班參與本次問卷調查的學生共有多少人;
(2)請補全圖1中的條形統(tǒng)計圖;
(3)在圖2的扇形統(tǒng)計圖中,“騎車”所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少度.
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【題目】已知直線l經(jīng)過A(6,0)和B(0,12)兩點,且與直線y=x交于點C,點P(m,0)在x軸上運動.
(1)求直線l的解析式;
(2)過點P作l的平行線交直線y=x于點D,當m=3時,求△PCD的面積;
(3)是否存在點P,使得△PCA成為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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