【題目】已知y1=a1(x﹣m)2+5,點(diǎn)(m,25)在拋物線y2=a2x2+b2x+c2上,其中m>0.
(1)若a1=﹣1,點(diǎn)(1,4)在拋物線y1=a1(x﹣m)2+5上,求m的值;
(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y2=a2x2+b2x+c2的頂點(diǎn)為M,若c2=0,點(diǎn)A(2,0)在此拋物線上,∠OMA=90°,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若y1+y2=x2+16x+13,且4a2c2﹣b22=﹣8a2,求拋物線y2=a2x2+b2x+c2的解析式.
【答案】(1)m=2;(2)M(1,﹣1);(3)y2=3x2+12x+10.
【解析】試題分析:(1)把點(diǎn)代入求值.(2)把已知點(diǎn)代入可求得拋物線對(duì)稱軸,由對(duì)稱性可知△OAM是等腰三角形,所以可以得到M點(diǎn)坐標(biāo).
(3)利用待定系數(shù)法,結(jié)合已知聯(lián)立方程組求解,利用代入消元技巧,可求得拋物線解析式.
試題解析:
(1)∵a1=﹣1,∴y1=﹣(x﹣m)2+5.
將(1,4)代入y1=﹣(x﹣m)2+5,得
4=﹣(1﹣m)2+5.
m=0或m=2.∵m>0,∴m=2.
(2)∵c2=0,∴拋物線y2=a2 x2+b2 x,
將(2,0)代入y2=a2 x2+b2 x,得4a2+2b2=0.即b2=﹣2a2,
∴拋物線的對(duì)稱軸是x=1,
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得,△OAM是等腰三角形,
∴NA=NO=1,
∵∠OMA=90°,
∴MN=OA=1,∴當(dāng)a2>0時(shí),M(1,﹣1),
當(dāng)a2<0時(shí),M(1,1),
∵25>1,∴M(1,﹣1).
(3)方法一:∵點(diǎn)(m,25)在拋物線y2=a2 x2+b2x+c2上,
∴a2 m 2+b2 m+c2=25①,
∵y1+y2=(a1+a2)x2+(b2﹣2a1m)x+5+a1m2+c2=x2+16x+13,
∴a1+a2=1②,b2﹣2a1m=16③,a1m2+c2=8④,
由③得,b2m=16m+2a1m2⑤,由④得,c2=8a1m2⑥,
將⑤⑥代入方程①得,a2 m 2+16m+2 m 2 a1+8﹣m 2 a1=25,
整理得,m 2+16m﹣17=0,
解得m1=1,m2=﹣17,
∵m>0,∴m=1,
將m=1代入③得,b2=16+2a1=12+2(1﹣a2)=18﹣2a2,將m=1代入④得,c2=8﹣a1=8﹣(1﹣a2)=7+a2.
∵4a2 c2﹣b22=﹣8a2,∴4a2(7+a2)﹣(18﹣2a2)2=﹣8a2,
∴a2=3,∴b2=18﹣2×3=12,c2=7+3=10,
∴拋物線y2=a2x2+b2x+c2的解析式為y=3x2+12x+10.
方法二,由題意知,當(dāng)x=m時(shí),y1=5;當(dāng)x=m時(shí),y2=25,
∴當(dāng)x=m時(shí),y1+y2=5+25=30,
∵y1+y2=x2+16 x+13,∴30=m2+16m+13.
解得m1=1,m2=﹣17.
∵m>0,∴m=1,
∵4a2 c2﹣b22=﹣8a2,∴ = =﹣2,
∴y2 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2,
設(shè)拋物線y2的解析式為y2=a2 (x﹣h)2﹣2,∴y1+y2=a1 (x﹣1)2+5+a2 (x﹣h)2﹣2.
∵y1+y2=(a1+a2)x2﹣2(a1+a2h)x+a1+a2h2+3=x2+16 x+13,∴a1+a2=1①,﹣2(a1+a2h)=16②,a1+a2h2+3=13③,將①代入②③化簡(jiǎn)得,a2h﹣a2=﹣9④,a2h2﹣a2=9⑤,聯(lián)立④⑤,解得h=﹣2,a2=3,
∴拋物線的解析式為y2=3(x+2)2﹣2=3x2+12x+10.
方法三、由題意知,當(dāng)x=m時(shí),y1=5;當(dāng)x=m時(shí),y2=25,
∴當(dāng)x=m時(shí),y1+y2=5+25=30,
∵y1+y2=x2+16x+13,∴30=m2+16m+13,
∴m=1或m=﹣17,∵m>0,∴m=1,∴y1=a1 (x﹣1)+5,
∵y1+y2=x2+16x+13,∴y2=x2+16 x+13﹣y1
=x2+16x+13﹣a1 (x﹣1)2﹣5,
即y2=(1﹣a1)x2+(16+2a1)x+8﹣a1,
∵4a2c2﹣b22=﹣8a2,∴ = =﹣2,
∴y2 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2,∴ =-2,
∴a1=﹣2,∴y2=3x2+12x+10.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分10分)沿海開發(fā)公司準(zhǔn)備投資開發(fā)A、B兩種新產(chǎn)品,通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):
(1)若單獨(dú)投資A種產(chǎn)品,則所獲利潤(rùn)yA(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間滿足正比例函數(shù)關(guān)系:yA=kx;
(2)若單獨(dú)投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤(rùn)yB(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間滿足二次函數(shù)關(guān)系:yB=ax2+bx.
(3)根據(jù)公司信息部的報(bào)告,yA,yB(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示:
(1)填空:yA= ;yB= ;
(2)若公司準(zhǔn)備投資20萬(wàn)元同時(shí)開發(fā)A、B兩種新產(chǎn)品,設(shè)公司所獲得的總利潤(rùn)為W(萬(wàn)元),試寫出W與某種產(chǎn)品的投資金額x(萬(wàn)元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)在(2)中能獲得最大利潤(rùn)的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇,下表是近兩周的銷售情況:
(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤(rùn) = 銷售收入-進(jìn)貨成本)
(1)求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià);
(2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái),求A種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)?
(3)在(2)的條件下,超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1400元的目標(biāo)?若能,請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年3月1日,某園林公司派出一批工人去完成種植2200棵景觀樹木的任務(wù),這批工人3月1日到5日種植的數(shù)量(單位:棵)如圖所示.
(1)這批工人前兩天平均每天種植多少棵景觀樹木?
(2)因業(yè)務(wù)需要,到3月10日必須完成種植任務(wù),你認(rèn)為該園林公司是否需要增派工人?請(qǐng)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】AB兩地相距60km,甲、乙兩人從兩地出發(fā)相向而行,甲先出發(fā).圖中l1,l,2表示兩人離A地的距離s(m)與時(shí)間t(h)的關(guān)系,請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題:
(1)表示甲離A地的距離與時(shí)間關(guān)系的圖象是 (填l1或l2);甲的速度是 (km/h);乙的速度是 (km/h);
(2)甲出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后兩人相遇?(利用方程解決)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】填空:如圖,已知DG⊥BC,BC⊥AC,EF⊥AB,∠1=∠2,試判斷CD與AB的位置關(guān)系:
解:CD⊥AB
∵DG⊥BC,BC⊥AC(已知)
∴∠DGB=∠_____=90°(垂直定義)
∴DG∥AC,(____________________)
∴∠2=∠_________.(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠________(等量代換)
∴EF∥______(同位角相等,兩直線平行)
∴∠AEF=∠ADC,(________________)
∵EF⊥AB,
∴∠AEF=90°
∴∠ADC=90°
即:CD⊥AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點(diǎn)O,A1;將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3;…如此進(jìn)行下去,得到Cn,若點(diǎn)P(2017,m)在拋物線Cn上,則m為( )
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D是邊AC上的一點(diǎn),連接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一點(diǎn),以BE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若∠A=60°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:在△ABC和△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,AC=DC,BC=EC,AB與DE相交于點(diǎn)F.
(1)如圖1,求證AB=DE;
(2)如圖2,連接CF,求證∠AFC=∠EFC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)AF=EF時(shí),連接BD,AE,延長(zhǎng)CF交BD于點(diǎn)G,AE交CF于點(diǎn)H,若AE=8,BG=2,求線段GH的長(zhǎng).
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