【題目】如圖,以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O,交矩形的對(duì)角線BD于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),連接EF.

(1)試判斷EF與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

(2)若DC=2,EF=,點(diǎn)P是⊙O上不與E、C重合的任意一點(diǎn),則∠EPC的度數(shù)為 (直接寫(xiě)出答案)

【答案】(1)EF與⊙O相切,證明見(jiàn)解析;(2)600或1200

【解析】(1)直線EF與⊙O相切.理由如下:如圖,連接OE、OF.通過(guò)△EFO≌△CFO(SAS),證得∠FEO=∠FCO=90°,則直線EF與⊙O相切.
(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EPC+∠D=180°,利用(1)中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求得FC=EF=,所以通過(guò)解直角△BCD來(lái)求∠D的度數(shù)即可.

解:(1)直線EF與⊙O相切.理由如下:
如圖,連接OE、OF.


∵OD=OE,
∴∠1=∠D.
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),點(diǎn)O是DC的中點(diǎn),
∴OF∥BD,
∴∠3=∠D,∠2=∠1,
∴∠2=∠3.
∴在△EFO與△CFO中,

OE=OC,∠2=∠3,OF=OF,

∴△EFO≌△CFO(SAS),
∴∠FEO=∠FCO=90°,
∴直線EF與⊙O相切.

(2)如圖,連接DF.
∵由(1)知,△EFO≌△CFO,
∴FC=EF=
∴BC=2
在直角△FDC中,tan∠D==,
∴∠D=60°.

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),
∵點(diǎn)E、P、C、D四點(diǎn)共圓,
∴∠EPC+∠D=180°,
∴∠EPC=120°.
當(dāng)點(diǎn)P在 上時(shí),

∠EPC=∠D=60°,

故填:60°或120°.
“點(diǎn)睛”本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】麗商場(chǎng)銷(xiāo)售A、B兩種商品,售出1件A種商品和4件B種商品所得利潤(rùn)為600元;售出3件A種商品和5件B種商品所得利潤(rùn)為1100元.

(1)求每件A種商品和每件B種商品售出后所得利潤(rùn)分別為多少元?

(2)由于需求量大,A、B兩種商品很快售完,威麗商場(chǎng)決定再一次購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品共34件,如果將這34件商品全部售完后所得利潤(rùn)不低于4000元,那么麗商場(chǎng)至少需購(gòu)進(jìn)多少件A種商品?

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【題目】如圖, 已知ABC中, BAC=90°, AB=AC, AE是過(guò)A的一條直線, 且B、C在AE的異側(cè), BDAE于D, CEAE于E.

(1)求證: BD=DE+CE.

(2)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置時(shí)(BD<CE), 其余條件不變, 問(wèn)BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何? 請(qǐng)給予證明;

(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置時(shí)(BD>CE), 其余條件不變, 問(wèn)BD與DE、CE的數(shù)量關(guān)系如何? 請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果, 不需證明.

(4)根據(jù)以上的討論,請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)BD與DE,CE的數(shù)量關(guān)系。

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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是邊AD的中點(diǎn),NAB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),將AMN沿MN所在直線翻折得到A1MN,連接A1C,畫(huà)出點(diǎn)NAB的過(guò)程中A1的運(yùn)動(dòng)軌跡,A1C的最小值為_____

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【題目】某校計(jì)劃一次性購(gòu)買(mǎi)排球和籃球,每個(gè)籃球的價(jià)格比排球貴30元;購(gòu)買(mǎi)2個(gè)排球和3個(gè)籃球共需340元.

(1)求每個(gè)排球和籃球的價(jià)格:

(2)若該校一次性購(gòu)買(mǎi)排球和籃球共60個(gè),總費(fèi)用不超過(guò)3800元,且購(gòu)買(mǎi)排球的個(gè)數(shù)少于39個(gè).設(shè)排球的個(gè)數(shù)為m,總費(fèi)用為y元.

①求y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求m可取的所有值;

②在學(xué)校按怎樣的方案購(gòu)買(mǎi)時(shí),費(fèi)用最低?最低費(fèi)用為多少?

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②存在三個(gè)實(shí)數(shù)m≠n≠s,使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c

③如果ac<0,則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c

④如果ac>0,則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c

A. B. ①③ C. ②④ D. ①③④

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(1)圖1中,點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;

(2)如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)E在射線CD上,過(guò)點(diǎn)BBFBEy軸于點(diǎn)F

①當(dāng)點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);

②當(dāng)點(diǎn)E在第二象限時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍.

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