某校一間宿舍里住有若干位學(xué)生,其中一人擔(dān)任舍長(zhǎng).元旦時(shí),該宿舍里的每位學(xué)生互贈(zèng)一張賀卡,并且每人又贈(zèng)給宿舍樓的每位管理員一張賀卡,每位宿舍管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡,這樣共用去了51張賀卡.問(wèn)這間宿舍里住有多少位學(xué)生.
【答案】分析:設(shè)有x個(gè)學(xué)生,y個(gè)管理員.
①該宿舍每位學(xué)生與贈(zèng)一張賀卡,那么每個(gè)人收到的賀卡就是x-1張,那么總共就用去了x(x-1)(乘法原理)張賀卡;
②每個(gè)人又贈(zèng)給每一位管理員一張賀卡,那么就用去了xy(乘法原理)張賀卡;
③每位管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡,那么就用去了y張賀卡;
所以根據(jù)題意列出方程:x(x-1)+xy+y=51(加法原理),然后根據(jù)生活實(shí)際情況解方程即可.
解答:解:設(shè)有x個(gè)學(xué)生,y個(gè)管理員.
該宿舍每位學(xué)生與贈(zèng)一張賀卡,那么每個(gè)人收到的賀卡就是x-1張,那么總共就用去了x(x-1)張賀卡;
每個(gè)人又贈(zèng)給每一位管理員一張賀卡,那么就用去了xy張賀卡;
每位管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡,那么就用去了y張賀卡;
∴x(x-1)+xy+y=51,
∴51=x(x-1)+xy+y=x(x-1)+y(x+1)≥x(x-1)+x+1=x2+1(當(dāng)y=1時(shí)取“=”),
解得,x≤7;
x(x-1)+(x+1)y=51
∵51是奇數(shù),而x和x-1中,有一個(gè)是偶數(shù),
∴x(x-1)是偶數(shù),
∴(x+1)y是奇數(shù),
∴x是偶數(shù),
而x≤7,所以x只有2 4 6三種情況;
當(dāng)x=2時(shí),y=(不是整數(shù),舍去);
當(dāng)x=4時(shí),y=(不是整數(shù),舍去);
當(dāng)x=6時(shí),y=3.
所以這個(gè)宿舍有6個(gè)學(xué)生.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了加法原理和乘法原理.解答此題的難點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際情況解方程x(x-1)+(x+1)y=51,解該方程利用了奇數(shù)與偶數(shù)的知識(shí).
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