某校一間宿舍里住有若干位學生,其中一人擔任舍長.元旦時,該宿舍里的每位學生互贈一張賀卡,并且每人又贈給宿舍樓的每位管理員一張賀卡,每位宿舍管理員也回贈舍長一張賀卡,這樣共用去了51張賀卡.問這間宿舍里住有多少位學生.
分析:設(shè)有x個學生,y個管理員.
①該宿舍每位學生與贈一張賀卡,那么每個人收到的賀卡就是x-1張,那么總共就用去了x(x-1)(乘法原理)張賀卡;
②每個人又贈給每一位管理員一張賀卡,那么就用去了xy(乘法原理)張賀卡;
③每位管理員也回贈舍長一張賀卡,那么就用去了y張賀卡;
所以根據(jù)題意列出方程:x(x-1)+xy+y=51(加法原理),然后根據(jù)生活實際情況解方程即可.
解答:解:設(shè)有x個學生,y個管理員.
該宿舍每位學生與贈一張賀卡,那么每個人收到的賀卡就是x-1張,那么總共就用去了x(x-1)張賀卡;
每個人又贈給每一位管理員一張賀卡,那么就用去了xy張賀卡;
每位管理員也回贈舍長一張賀卡,那么就用去了y張賀卡;
∴x(x-1)+xy+y=51,
∴51=x(x-1)+xy+y=x(x-1)+y(x+1)≥x(x-1)+x+1=x
2+1(當y=1時取“=”),
解得,x≤7;
x(x-1)+(x+1)y=51
∵51是奇數(shù),而x和x-1中,有一個是偶數(shù),
∴x(x-1)是偶數(shù),
∴(x+1)y是奇數(shù),
∴x是偶數(shù),
而x≤7,所以x只有2 4 6三種情況;
當x=2時,y=
(不是整數(shù),舍去);
當x=4時,y=
(不是整數(shù),舍去);
當x=6時,y=3.
所以這個宿舍有6個學生.
點評:本題主要考查了加法原理和乘法原理.解答此題的難點是根據(jù)實際情況解方程x(x-1)+(x+1)y=51,解該方程利用了奇數(shù)與偶數(shù)的知識.