【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,線段AB的兩個端點A(02)B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點C為線段AB的中點,現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+ca≠0)經過點D

1)如圖1,若該拋物線經過原點O,且a=-

①求點D的坐標及該拋物線的解析式;

②連結CD,問:在拋物線上是否存在點P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標,若不存在,請說明理由;

2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+ca≠0)經過點E11),點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余.若符合條件的Q點的個數(shù)是3個,請直接寫出a的值.

【答案】1)①D的坐標是(3,1),;②存在點P)或(),使得∠POB與∠BCD互余;(2a的值為

【解析】

1)①過點DDFx軸于點F,先通過三角形全等求得D的坐標,把D的坐標和a=-,c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式;
②先證得CDx軸,進而求得要使得∠POB與∠BCD互余,則必須∠POB=BAO,設P的坐標為(x-x2+x),分兩種情況討論即可求得;
2)若符合條件的Q點的個數(shù)是3個,根據tanQOB=tanBAO==,得到直線OQ的解析式為y=-x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個交點,所以方程ax2-4ax+3a+1=-x有兩個相等的實數(shù)根,所以△=-4a+2-4a3a+1=0,即4a2-8a+=0,解得

1)①過點DDFx軸于點F,如圖1,

∵∠DBF+ABO=90°,∠BAO+ABO=90°,

∴∠DBF=BAO,

又∵∠AOB=BFD=90°,AB=BD,

∴△AOB≌△BFD

DF=BO=1BF=AO=2,

D的坐標是(31),

根據題意,得

∴該拋物線的解析式為:

②如圖2,∵點A02),B10),

C為線段AB的中點,

又∵,

CDx軸,

∴∠BCD=ABO,

∴∠BAO與∠BCD互余,

要使得∠POB與∠BCD互余,

則必須∠POB=BAO

P的坐標為,

)當Px軸的上方時,過PPGx軸于點G,如圖2

,

,

解得(舍去),,

,

P點的坐標為();

))當Px軸的下方時,過PPGx軸于點G,如圖3

,

解得(舍去),

,

P點的坐標為();

綜上,在拋物線上是否存在點P)或(),使得∠POB與∠BCD互余.

2)如圖3,∵D3,1),E1,1),
拋物線y=ax2+bx+c過點E、D,代入可得,解得 ,
所以y=ax2-4ax+3a+1
分兩種情況:
①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時,若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數(shù)不可能是3


②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時,
i)當點Qx軸的上方時,直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個交點,符合條件的點Q必定有2個;
ii)當點Qx軸的下方時,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個交點,才能使符合條件的點Q3個.
根據(2)可知,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=BAO,
tanQOB=tanBAO==,此時直線OQ的解析式為y=-x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個交點,所以方程ax2-4ax+3a+1=-x有兩個相等的實數(shù)根,所以△=-4a+2-4a3a+1=0,即4a2-8a+=0,解得,
∵拋物線的頂點在x軸下方
0,
a1,
舍去
綜上所述,a的值為

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