Question

【題目】如圖，矩形的兩條邊的長(zhǎng)是方程的兩根沿直線將矩形折疊，點(diǎn)落在第一象限的點(diǎn)處，交軸于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）將直線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向下平移，求直線掃過的三角形的面積關(guān)于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在(2)的條件下，在移動(dòng)的直線上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由一元二次方程可先求得OA、OC的長(zhǎng)，則可求得A、B的坐標(biāo)；設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得AE=CE，在中根據(jù)勾股定理可求出a的值，從而可解決問題；

（2）由FG//AC可得，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）分兩種情況求解：①過點(diǎn)D作DN//y軸，交x軸于點(diǎn)N，交移動(dòng)后的直線AC于點(diǎn)M，

連接OM，假定EOMD是平行四邊形，求出OM的長(zhǎng)，通過解直角三角形OMN，求出ON和MN的長(zhǎng)度即可；②方法同①.

解方程

得

設(shè)，則

由折疊可得

在中，

解得，

設(shè)直線平移秒時(shí)，交于點(diǎn)，

則

存在

分兩種情況：①如圖，過點(diǎn)D作DN//y軸，交x軸于點(diǎn)N，交移動(dòng)后的直線AC于點(diǎn)M，

連接OM，

∵OE=3，OA=4，

∴tan∠OAE=，

設(shè)DN=3x，則AN=4x，

由折疊的性質(zhì)可得AD=AB=8，

在Rt△AND中，由勾股定理可得，

解得，

∴，，

∴

假設(shè)四邊形EOMD是平行四邊形，則有OM//ED，

∴∠MON=∠DAN

∴，

∴

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，) ；

②如圖，過點(diǎn)O作OM//AD，交移動(dòng)后的直線AC于點(diǎn)M，連接OD，ME，過M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，

由（1）得AE=5，AD=8，

∴DE=3，

假設(shè)四邊形EMOD是平行四邊形，則有OM=ED=3，

同①可得

設(shè)MN=3x，則ON=4x，

在Rt△OMN中，由勾股定理可得，

解得，

∴，，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，) .

綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)或(，).