Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

（1）求證：BE=DG；
（2）若∠B=60°，當BC=AB時，四邊形ABFG是菱形；
（3）若∠B=60°，當BC=AB時，四邊形AECG是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB=CD．

∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，

∴CG⊥AD．AE=CG

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵在Rt△ABE與Rt△CDG中， ，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），

∴BE=DG．

（2）
（3）
【解析】（2）解：當BC= AB時，四邊形ABFG是菱形．

證明：∵AB∥GF，AG∥BF，

∴四邊形ABFG是平行四邊形．

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE= AB（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半），

∵BE=CF，BC= AB，

∴EF= AB．

∴AB=BF．

∴四邊形ABFG是菱形．

故答案是： ；（3）解：BC= AB時，四邊形AECG是正方形．

∵AE⊥BC，GC⊥CB，

∴AE∥GC，∠AEC=90°，

∵AG∥CE，

∴四邊形AECG是矩形，

當AE=EC時，矩形AECG是正方形，

∵∠B=60°，

∴EC=AE=ABsin60°= AB，BE= AB，

∴BC= AB．

故答案是： ．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．