Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)D，B同時(shí)出發(fā)，都以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)O，連接MP．已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了ts（0＜t＜3）．

（1）當(dāng)t為多少時(shí)，PM∥AB？

（2）若四邊形CDMP的面積為S，試求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t使四邊形CDMP面積與四邊形ABCD面積比為3：8？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)過程中，△MPA能否成為一個(gè)等腰三角形？若能，求出所有可能的t值；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=時(shí)，PM∥AB；（2）s＝t2﹣2t+6；（3）t＝時(shí)四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3：8；（4）當(dāng)t＝1或t＝或t＝時(shí)，△MPA是等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到PM與PN共直線，求得MN∥AB，列方程即可得到結(jié)論；

（2）延長NP交AD于點(diǎn)Q，則PQ⊥AD，由△PNC∽△ABC得即根據(jù)S四邊形CDMP＝S△ACD﹣S△AMP可得；

（3）由解方程可得；

（4）本題要分三種情況：①MP＝PA，那么AQ＝BN＝AM，可用x分別表示出BN和AM的長，然后根據(jù)上述等量關(guān)系可求得x的值．②MA＝MP，在直角三角形MQP中，MQ＝MA﹣BN，PQ＝AB﹣PN根據(jù)勾股定理即可求出x的值．③MA＝PA，不難得出AP＝BN，然后用x表示出AM的長，即可求出x的值．

解：（1）∵PM∥AB，AB∥PN，

∴PM與PN共直線，

∴MN∥AB，

∴AM＝NB，

∴3﹣t＝t，

得

（2）如圖，延長NP交AD于點(diǎn)Q，則PQ⊥AD，

由題意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t，

∵PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴即

解得：

∵PQ⊥AD，

∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°，

∴四邊形ABNQ是矩形，

則AB＝QN＝4，

∴

∴四邊形CDMP的面積

（3）∵S矩形ABCD＝3×4＝12，

∴

解得：

所以時(shí)四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3：8；

（4）△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說明：

①若PM＝PA，

∵PQ⊥MA，

∴四邊形ABNQ是矩形，

∴QA＝NB＝t，

∴MQ＝QA＝t，

又∵DM+MQ+QA＝AD

∴3t＝3，即t＝1

②若MP＝MA，則MQ＝3﹣2t， MP＝MA＝3﹣t，

在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2＝MQ2+PQ2

∴

解得：t＝（t＝0不合題意，舍去）

③若AP＝AM，

由題意可得：AP＝t，AM＝3﹣t

∴

解得：t＝，

綜上所述，當(dāng)t＝1或t＝或t＝時(shí)，△MPA是等腰三角形．