分析 (1)如圖1,P在MN上,先表示兩動點的路程:PC=t,BQ=1.5t,證明△MQB∽△ACB,列比例式可表示MQ=3t,根據(jù)NQ=3t列方程可求得t的值;
如圖2,點D在MQ上,根據(jù)CE=CQ列式求得t的值;
(2)分四種情況:
①當(dāng)N與C重合時,如圖3,此時t=$\frac{8}{3}$s,△MQN與正方形PDEC重疊部分△CDE,根據(jù)面積公式求得S;
②當(dāng)$\frac{8}{3}$<t<$\frac{24}{7}$時,如圖4,△MQN與正方形PDEC重疊部分是五邊形GHCED,根據(jù)S=S正方形PCED-S△PGH可得結(jié)論;
③當(dāng)$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$時,如圖5,△MQN與正方形PDEC重疊部分是正方形PCED;
④當(dāng)$\frac{24}{5}$<t≤8時,如圖6,△MQN與正方形PDEC重疊部分是矩形PCQG;
(3)線段FG掃過的圖形面積是△BFG的面積,分別求GF和FC的長,代入面積公式計算即可.
解答 解:(1)當(dāng)P在MN上時,如圖1,
由題意得:PC=t,BQ=1.5t,
∵△MQN是等腰直角三角形,
∴MQ=NQ,∠NQM=90°,∠MNQ=45°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠NQM=180°,
∴AC∥MQ,
∴△MQB∽△ACB,
∴$\frac{MQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}$,
∴$\frac{MQ}{24}=\frac{1.5t}{12}$,
∴MQ=3t,
∴NQ=MQ=3t,
∵△PCN是等腰直角三角形,
∴NC=PC=t,
∴NC+CQ=NQ,
t+12-1.5t=3t,
t=$\frac{24}{7}$,
即當(dāng)點P在MN上時,t=$\frac{24}{7}$s;
當(dāng)點D在MQ上時,如圖2,此時Q與E重合,
由題意得:CE=PC=t,CQ=12-1.5t,
∴t=12-1.5t,
t=$\frac{24}{5}$,
即當(dāng)點D在MQ上時,t=$\frac{24}{5}$s;
故答案為:$\frac{24}{7}$;$\frac{24}{5}$;
(2)①當(dāng)N與C重合時,如圖3,
∵四邊形PCDE是正方形,
∴∠DCE=45°,
∵△MNQ是等腰直角三角形,
∴∠MNQ=45°,
∴此時D在CM上,
則CQ+BQ=BC,
3t+1.5t=12,
9t=24,
t=$\frac{8}{3}$;
此時,△MQN與正方形PDEC重疊部分是△CDE,
S=S△CDE=$\frac{1}{2}$CE•ED=$\frac{1}{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$(\frac{8}{3})^{2}$=$\frac{32}{9}$;
②當(dāng)$\frac{8}{3}$<t<$\frac{24}{7}$時,如圖4,△MQN與正方形PDEC重疊部分是五邊形GHCED,
此時,CQ=12-1.5t,NC=3t+1.5t-12=4.5t-12,
∵∠MNQ=45°,
∴△NCH是等腰直角三角形,
∴NC=HC=4.5t-12,
∴PH=PG=t-(4.5t-12)=12-3.5t,
∴S=S正方形PCED-S△PGH=t2-$\frac{1}{2}$(12-3.5t)2=-$\frac{41}{8}{t}^{2}$+42t-72;
③當(dāng)$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$時,如圖5,△MQN與正方形PDEC重疊部分是正方形PCED,
此時S=$\frac{1}{2}{t}^{2}$;
④當(dāng)$\frac{24}{5}$<t≤8時,如圖6,△MQN與正方形PDEC重疊部分是矩形PCQG,
CQ=12-1.5t,
∴S=S矩形PCQE=PC•CQ=t(12-1.5t)=-1.5t2+12t;
綜上所述,當(dāng)$\frac{8}{3}$≤t≤8時,S與t之間的函數(shù)關(guān)系是:
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{9}(t=\frac{8}{3})}\\{-\frac{41}{8}{t}^{2}+42t-72(\frac{8}{3}<t<\frac{24}{7})}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}(\frac{24}{7}≤t≤\frac{24}{5})}\\{-1.5{t}^{2}+12t(\frac{24}{5}<t≤8)}\end{array}\right.$;
(3)如圖7,在整個運動過程中,線段FG掃過的圖形面積是圖中陰影部分的面積,即△BFG的面積,
此時Q與C重合,
∴NC=AC=24,
∵點F、G分別是MQ、MN的中點,
∴GF是△ANC的中位線,
∴GF∥NC,GF=$\frac{1}{2}$NC=$\frac{1}{2}$AC=12,
FC=$\frac{1}{2}$AC=12,
∴S△BFG=$\frac{1}{2}$GF•FC=$\frac{1}{2}$×12×12=72;
則線段FG掃過的圖形面積是72cm2.
點評 本題是四邊形的綜合題,考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、動點運動問題、三角形相似的性質(zhì)和判定,還有重疊部分面積問題,有難度,尤其是第二問,要利用數(shù)形結(jié)合的思想,注意重疊部分圖形的不同,并與函數(shù)相結(jié)合,解決問題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 在圓內(nèi) | B. | 在圓上 | C. | 在圓外 | D. | 不確定 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{1}{11}$ | B. | $\frac{1}{11}$ | C. | -$\frac{5}{7}$ | D. | -$\frac{7}{5}$ |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4個 | B. | 3個 | C. | 2個 | D. | 1個 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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