【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(3,0).
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)如圖2,該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為F,點(diǎn)D(2,3)在該拋物線上.
①求四邊形ACFD的面積;
②點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交該拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ、DQ,當(dāng)△AQD是直角三角形時(shí),求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)①S四邊形ACFD= 4;②Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)或(,)或(,).
【解析】
此題涉及的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的綜合應(yīng)用,難度較大,需要有很好的邏輯思維,解題時(shí)先根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)列方程求出函數(shù)解析式,然后再根據(jù)解析式和已知條件求出四邊形的面積和點(diǎn)的坐標(biāo)。
(1)由題意可得,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)①∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴F(1,4),
∵C(0,3),D(2,3),
∴CD=2,且CD∥x軸,
∵A(﹣1,0),
∴S四邊形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×(4﹣3)=4;
②∵點(diǎn)P在線段AB上,
∴∠DAQ不可能為直角,
∴當(dāng)△AQD為直角三角形時(shí),有∠ADQ=90°或∠AQD=90°,
i.當(dāng)∠ADQ=90°時(shí),則DQ⊥AD,
∵A(﹣1,0),D(2,3),
∴直線AD解析式為y=x+1,
∴可設(shè)直線DQ解析式為y=﹣x+b′,
把D(2,3)代入可求得b′=5,
∴直線DQ解析式為y=﹣x+5,
聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式可得,解得或,
∴Q(1,4);
ii.當(dāng)∠AQD=90°時(shí),設(shè)Q(t,﹣t2+2t+3),
設(shè)直線AQ的解析式為y=k1x+b1,
把A、Q坐標(biāo)代入可得,解得k1=﹣(t﹣3),
設(shè)直線DQ解析式為y=k2x+b2,同理可求得k2=﹣t,
∵AQ⊥DQ,
∴k1k2=﹣1,即t(t﹣3)=﹣1,解得t=,
當(dāng)t=時(shí),﹣t2+2t+3=,
當(dāng)t=時(shí),﹣t2+2t+3=,
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(,)或(,);
綜上可知Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)或(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將對(duì)角線AC繞對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且保持DP=AE,連接PE、PF,設(shè)AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= 。(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求△PEF面積的最小值;
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,BD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直于點(diǎn)D,BD與⊙O交于點(diǎn)E.
(1)求證:BC平分∠DBA;
(2)連接AE和AC,若cos∠ABD=,OA=m,請(qǐng)寫(xiě)出求四邊形AEDC面積的思路.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線的部分圖象如圖所示,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,拋物線的對(duì)稱軸是下列結(jié)論中:
;;方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為;若點(diǎn)在該拋物線上,則.
其中正確的有
A. 5個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以點(diǎn)A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①AD是∠BAC的平分線
②∠ADC=60°
③△ABD是等腰三角形
④點(diǎn)D到直線AB的距離等于CD的長(zhǎng)度.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=4,另有一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在C處,CP=CQ=2,將三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(保持點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部),連接AP、BP、BQ.
(1)如圖1求證:AP=BQ;
(2)如圖2當(dāng)三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、P、Q在同一直線時(shí),求AP的長(zhǎng);
(3)設(shè)射線AP與射線BQ相交于點(diǎn)E,連接EC,寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中EP、EQ、EC之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn), 在反比例函數(shù)(m為常數(shù))的圖象上,連接AO并延長(zhǎng)與圖象的另一支有另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A的直線l與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸交直線l于點(diǎn)E.
(1)求m的值,并求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)B作射線BN∥x軸,與AE交于點(diǎn)M (補(bǔ)全圖形),求證:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市射擊隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在相同的條件下各射耙10次,每次射耙的成績(jī)情況如圖所示:
(1)請(qǐng)將下表補(bǔ)充完整:
(2)請(qǐng)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析:
①?gòu)钠骄鶖?shù)和方差相結(jié)合看, 的成績(jī)好些;
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看, 的成績(jī)好些;
③若其他隊(duì)選手最好成績(jī)?cè)?/span>9環(huán)左右,現(xiàn)要選一人參賽,你認(rèn)為選誰(shuí)參加,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(20,0),C(0,8),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為10的等腰三角形時(shí),則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.
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