Question

（2012•樊城區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H．
（1）求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）拋物線y=

1

6

x²-bx+c經(jīng)過(guò)A、O兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并驗(yàn)證點(diǎn)C是否在拋物線上；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PCM與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得AB∥OC，然后求出∠AHO=∠COH=90°，在根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出OH、AH的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式計(jì)算求出OA的長(zhǎng)度，再求出BH的長(zhǎng)度即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的邊OC的長(zhǎng)度可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)A、O的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得到拋物線解析式；然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，符合則點(diǎn)C在拋物線上；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)判定△AMH和△CMO相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出MH與MO的比值，再根據(jù)OH的長(zhǎng)度求出OM的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的性質(zhì)，△ABC是等腰三角形，所以①過(guò)點(diǎn)M作MP₁∥BC交x軸于P₁，利用兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似可得△CMP₁和△ACB相似，然后設(shè)OP₁=m，表示出MP₁，再利用勾股定理列出方程求解得到m的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②截取OP₂=OC=5，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得MP₂=MC，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)可得∠MP₂C=∠MCP₂=∠ACB=∠BAC，然后得到△CP₂M和△ACB相似，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）在菱形ABCO中，OA=AB=BC=CO，AB∥OC，
所以，∠AHO=∠COH=90°，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），
∴OH=4，AH=3，
在Rt△AOH中，OA=

OH2+AH2

=

42+32

=5，
∴BH=5-3=2，
∴B（2，4）、C（0，5）；

（2）把點(diǎn)A（-3，4）、O（0，0）代入拋物線解析式中得，

c=0 1 6 ×(-3)2-(-3)b+c=4

，
解得

b= 5 6 c=0

，
所以，拋物線的解析式為y=

1

6

x²-

5

6

x，
當(dāng)x=5時(shí)，y=

1

6

×5²-

5

6

×5=0，
所以點(diǎn)C（5，0）在拋物線上；

（3）存在．理由如下：
在菱形ABCO中，AB∥OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∠AHO=∠COH=90°，
∴△AMH∽△CMO，
∴

MH

MO

=

AH

CO

=

3

5

，
∵OH=4，
∴OM=

5

8

OH=2.5，
①過(guò)M作MP₁∥BC交x軸于P₁，
則∠CMP₁=∠BCA，
∵∠BAC=∠OCA，
∴△CMP₁∽△ACB，
在菱形ABCO中，∠ACB=∠ACO，
∴∠CMP₁=∠ACO，
設(shè)OP₁=m，則MP₁=5-m，（m＞0）
∴在Rt△MP₁O中，
MP₁²=OP₁²+OM²，
即（5-m）²=m²+2.5²，
解得m=1.875，
所以P₁（1.875，0），
②截取OP₂=OC=5，
∵OM⊥x軸，
∴MP₂=MC，
∴∠MP₂C=∠MCP₂，
由上知：∠MP₂C=∠MCP₂=∠ACB=∠BAC，
∴△CP₂M∽△ACB，
此時(shí)P₂（-5，0），
綜上所述，P點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)為（1.875，0）和（-5，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定，（3）因?yàn)橄嗨迫�角形�?duì)應(yīng)邊不確定，所以要分情況討論求解．