Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點D、點E，圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形。

（1）觀察線段PD和PE之間的有怎樣的大小關系，并以圖②為例，加以說明；
（2）△PBE是否構成等腰三角形？若能，指出所有的情況（即求出△PBE為等腰三角形時CE的長，直接寫出結果）；若不能請說明理由。

Answer 1

解：1）PD=PE。以圖②為例，連PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P為斜邊AB的中點，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°， …………………………………… 1分
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB………………………1分
∴△DPC≌△EPB（AAS）………………………1分
∴PD=PE…………………………………1分
2）能，①當EP=EB時，CE=…………………………………1分
②當EP=PB時，點E 在BC上，則點E和C重合，CE=0………1分
③當BE=BP時，若點E在BC上，則CE=……………1分
若點E在CB的延長線上，則CE=………1分

（1）連接PC，通過證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE．
（2）分為點C與點E重合、CE=、CE=1、E在CB的延長線上四種情況進行說明．