Question

【題目】如圖1，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)C在x軸上，AB交y軸于點(diǎn)H，AC交y軸于點(diǎn)M.已知點(diǎn)A(－3，4)．

(1)求AO的長；

(2)求直線AC的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線A－B－C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C終止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PMB的面積為S.

①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②求S的最大值．

　

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）5；（2）y＝－x＋，M（0，）；（3）①S＝；②.

【解析】

（1）根據(jù)A的坐標(biāo)求出AH、OH，根據(jù)勾股定理求出即可；

（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出B、C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程組，求出即可；

（3）①過M作MN⊥BC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MN，P在AB上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；P在BC上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比較即可得到答案．

（1）∵A（-3，4），

∴AH=3，OH=4，

由勾股定理得：AO==5；

（2）∵四邊形OABC是菱形，

∴OA=OC=BC=AB=5，

5-3=2，

∴B（2，4），C（5，0），

設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，

把A（-3，4），C（5，0）代入得： ，

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝－x＋，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2.5，

∴M（0，2.5）；

（3）①過M作MN⊥BC于N，

∵四邊形OABC是菱形，

∴∠BCA=∠OCA，

∵MO⊥CO，MN⊥BC，

∴OM=MN，

當(dāng)0≤t＜2.5時(shí)，P在AB上，MH=4-2.5=，

=×BP×MH=×（5-2t）×=-t+，

∴S＝t+，

當(dāng)t=2.5時(shí)，P與B重合，△PMB不存在；

當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t-5）×=t-，

∴S＝t，

故S＝；

②當(dāng)P在AB上時(shí)，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P與A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上時(shí)，P與C重合時(shí)，S最大是×5×=，
∴S的最大值是．