【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,G是AD延長線上的一點,且DG=AD,動點M從A點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運動(M不與A,G重合),設(shè)運動時間為t秒,連接BM并延長AG于N.
(1)是否存在點M,使△ABM為等腰三角形?若存在,分析點M的位置;若不存在,請說明理由;
(2)當點N在AD邊上時,若BN⊥HN,NH交∠CDG的平分線于H,求證:BN=HN;
(3)過點M分別作AB,AD的垂線,垂足分別為E,F(xiàn),矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S,求S的最大值.
【答案】
(1)
解:存在;當點M為AC的中點時,AM=BM,則△ABM為等腰三角形;
當點M與點C重合時,AB=BM,則△ABM為等腰三角形;
當點M在AC上,且AM=2時,AM=AB,則△ABM為等腰三角形;
當點M在AC上,且AM=BM時,AM= AC= ×2 = 時,則△ABM為等腰三角形;
當點M為CG的中點時,AM=BM,則△ABM為等腰三角形;
(2)
證明:在AB上截取AK=AN,連接KN;如圖1所示:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,AB=AD,
∴∠CDG=90°,
∵BK=AB﹣AK,ND=AD﹣AN,
∴BK=DN,
∵DH平分∠CDG,
∴∠CDH=45°,
∴∠NDH=90°+45°=135°,
∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°,
∴∠BKN=∠NDH,
在Rt△ABN中,∠ABN+∠ANB=90°,
又∵BN⊥NH,
即∠BNH=90°,
∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°,
∴∠ABN=∠DNH,
在△BNK和△NHD中,
,
∴△BNK≌△NHD(ASA),
∴BN=NH;
(3)
解:①當M在AC上時,即0<t≤2 時,△AMF為等腰直角三角形,
∵AM=t,
∴AF=FM= t,
∴S= AFFM= × t× t= t2;
當t=2 時,S的最大值= ×(2 )2=2;
②當M在CG上時,即2 <t<4 時,如圖2所示:
CM=t﹣AC=t﹣2 ,MG=4 ﹣t,
在△ACD和△GCD中,
,
∴△ACD≌△GCD(SAS),
∴∠ACD=∠GCD=45°,
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°,
∴∠G=90°﹣∠GCD=45°,
∴△MFG為等腰直角三角形,
∴FG=MGcos45°=(4 ﹣t) =4﹣ t,
∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG= ×4×2﹣ ×CM×CM﹣ ×FG×FG
=4﹣ (t﹣2 )2﹣ (4﹣ )2=﹣ +4 t﹣8
=﹣ (t﹣ )2+ ,
∴當t= 時,S的最大值為 .
【解析】(1)四種情況:當點M為AC的中點時,AM=BM;當點M與點C重合時,AB=BM;當點M在AC上,且AM=2時,AM=AB;當點M在AC上,且AM=BM時,AM= 時;當點M為CG的中點時,AM=BM;△ABM為等腰三角形;(2)在AB上截取AK=AN,連接KN;由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=90°,AB=AD,∠CDG=90°,得出BK=DN,先證出∠BKN=∠NDH,再證出∠ABN=∠DNH,由ASA證明△BNK≌△NHD,得出BN=NH即可;(3)①當M在AC上時,即0<t≤2 時,△AMF為等腰直角三角形,得出AF=FM= t,求出S= AFFM= t2;當t=2 時,即可求出S的最大值;
②當M在CG上時,即2 <t<4 時,先證明△ACD≌△GD,得出∠ACD=∠GCD=45°,求出∠ACM=90°,證出△MFG為等腰直角三角形,得出FG=MGcos45°=4﹣ t,得出S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG , S為t的二次函數(shù),即可求出結(jié)果.
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【題目】提出命題:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
小明提供了如下解答過程:
證明:連接BD.
∵∠1+∠3=180-∠A,∠2+∠4=180―∠C,∠A=∠C,
∴ ∠1+∠3=∠2+∠4.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠1=∠4,∠2=∠3.
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形).
反思交流:(1)請問小明的解法正確嗎?如果有錯,說明錯在何處,并給出正確的證明過程.
(2)用語言敘述上述命題:___________________________________________________.
運用探究:(3)下列條件中,能確定四邊形ABCD是平行四邊形的是(_____)
A. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 B. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3
C. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶3∶2 D. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶1∶3∶3
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【題目】已知分式.
(1)當____時,分式的值等于零;
(2)當____時,分式無意義;
(3)當___且___時分式的值是正數(shù);
(4)當____時,分式的值是負數(shù).
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【題目】在中, ,點是直線上一點(不與重合),以為一邊在 的右側(cè)作,使,連接.
(1)如圖1,當點在線段上,如果,則 度;
(2)設(shè), .
①如圖2,當點在線段上移動,則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
②當點在直線上移動,則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請畫出圖形并直接寫出相應的結(jié)論.
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【題目】我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù),例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3;用<a>表示大于a的最小整數(shù),例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.
解決下列問題:
(1)[-4.5]=___,<3.5>=___;
(2)若[x]=2,則x的取值范圍是___;若<y>=-1,則y的取值范圍是___.
(3)已知x,y滿足方程組求x,y的取值范圍.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,E是AB的中點,直線l平行于直線EC,且直線l與直線EC之間的距離為2,點F在矩形ABCD邊上,將矩形ABCD沿直線EF折疊,使點A恰好落在直線l上,則DF的長為 .
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【題目】為了推進我市校園體育運動的發(fā)展,2017年義烏市中小學運動會在雪峰中學成功舉辦.在此期間,某體育文化用品商店計劃一次性購進籃球和排球共60個,其進價與售價間的關(guān)系如下表:
籃球 | 排球 | |
進價(元/個) | 80 | 50 |
售價(元/個) | 105 | 70 |
(1)商店用4200元購進這批籃球和排球,求購進籃球和排球各多少個?
(2)設(shè)商店所獲利潤為y(單位:元),購進籃球的個數(shù)為x(單位:個),請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)若要使商店的進貨成本在4300元的限額內(nèi),且全部銷售完后所獲利潤不低于1400元,請你列舉出商店所有進貨方案,并求出最大利潤是多少?
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