【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)P(x,y),如果點(diǎn)Q(x,y′)的縱坐標(biāo)滿足y′=,那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)(3,5)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo) ;
(2)如果點(diǎn)P在函數(shù)y=x﹣2的圖象上,其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如果點(diǎn)M(m,n)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N在函數(shù)y=2x2的圖象上,當(dāng)0≤m≤2時(shí),求線段MN的最大值.
【答案】(1)(3,2);(2)(4,2);(3)當(dāng)m≥n時(shí),線段MN的最大值是14;當(dāng)m<n時(shí),線段MN的最大值是2.
【解析】
(1)根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義,可得答案;
(2)根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義,可得Q點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上,可得方程,根據(jù)解方程,可得答案;
(3)根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義,可得N的坐標(biāo),根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.
解:(1)∵3<5,根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義,y′=5﹣3=2,
∴點(diǎn)(3,5)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)(3,2),
故答案為:(3,2);
(2)∵點(diǎn)P在函數(shù)y=x﹣2的圖象上,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x﹣2).
∵x>x﹣2,根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,2).
又∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合,
∴x﹣2=2,解得x=4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,2);
(3)點(diǎn)M(m,n)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N,由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義,得
第一種情況:當(dāng)m≥n時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,m﹣n),
∵N在函數(shù)y=2x2的圖象上,
∴m﹣n=2m2,n=﹣2m2+m,即yM=﹣2m2+m,yN=2m2,
∴MN=|yM﹣yN|=|﹣4m2+m|,
①當(dāng)0≤m≤,﹣4m2+m≥0,
MN=﹣4m2+m=﹣4(m﹣)2+,
∴當(dāng)m=時(shí),線段MN的最大值是;
②當(dāng)<m≤2時(shí),﹣4m2+m<0,
MN=4m2﹣m=4(m﹣)2﹣,當(dāng)m=2時(shí),線段MN的最大值是14;
第二種情況:當(dāng)m<n時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,n﹣m),
∵N在函數(shù)y=2x2的圖象上,
∴n﹣m=2m2,即n=2m2+m,
∴yM=2m2+m,yN=2m2,
∴MN=|yM﹣yN|=|m|,
∵0≤m≤2,
∴MN=m,
∴當(dāng)m=2時(shí),線段MN的最大值是2;
綜上所述:當(dāng)m≥n時(shí),線段MN的最大值是14;當(dāng)m<n時(shí),線段MN的最大值是2.
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【題目】某種型號(hào)汽車(chē)油箱容量為40L,每行駛100km耗油10L.設(shè)一輛加滿油的該型號(hào)汽車(chē)行駛路程為x(km),行駛過(guò)程中油箱內(nèi)剩余油量為y(L)
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)為了有效延長(zhǎng)汽車(chē)使用壽命,廠家建議每次加油時(shí)油箱內(nèi)剩余油量不低于油箱容量的四分之一,按此建議,求該輛汽車(chē)最多行駛的路程.
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【題目】如圖,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)試判斷BF與DE的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若BF⊥AC,∠2=150°,求∠AFG的度數(shù).
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【題目】如圖,CD是線段AB的垂直平分線,則∠CAD=∠CBD.請(qǐng)說(shuō)明理由:
解:∵ CD是線段AB的垂直平分線
∴ AC=BC,AD=DB( )
在△ADC和△BDC中,
∴△ADC≌和△BDC( ).
∴ ∠CAD=∠CBD( ).
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【題目】如圖,在 ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于點(diǎn)E,F(xiàn)為DC的中點(diǎn),連結(jié)EF、BF,下列結(jié)論:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四邊形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有( ).
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】西安愛(ài)知中學(xué)為了全面提高學(xué)生的綜合素養(yǎng),學(xué)校組織了音樂(lè),籃球,跆拳道,美術(shù)共四個(gè)社團(tuán),初學(xué)生積極參加(每個(gè)學(xué)生限報(bào)一項(xiàng)),參加社團(tuán)的學(xué)生共有人,其中音樂(lè)社團(tuán)有人參加,籃球社團(tuán)參加的人數(shù)比音樂(lè)社團(tuán)參加的人數(shù)的兩倍少人,跆拳道社團(tuán)參加的人數(shù)比籃球社團(tuán)參加的人數(shù)一半多1人
(1)籃球社團(tuán)有 人.(用含的式子表示)
(2)求籃球社團(tuán)比跆拳道社團(tuán)多多少人?(用含的式子表示)
(3)若,求美術(shù)社團(tuán)的人數(shù)
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【題目】關(guān)于x的一元二次方程
(1)求證:方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
(2)m為何整數(shù)時(shí),此方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)?
(3)若△ABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,第三邊BC的長(zhǎng)為5,當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),求m的值。
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【題目】已知關(guān)于x的方程2(x+1)﹣m=﹣的解比方程5(x﹣1)﹣1=4(x﹣1)+1的解大2.
(1)求第二個(gè)方程的解;
(2)求m的值.
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【題目】甲、乙兩地相距300千米,一輛貨車(chē)和一輛轎車(chē)先后從甲地出發(fā)向乙地,如圖,線段OA表示貨車(chē)離甲地距離y(千米)與時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系;折線BCD表示轎車(chē)離甲地距離y(千米)與x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題:
(1)轎車(chē)到達(dá)乙地后,貨車(chē)距乙地多少千米?
(2)求線段CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.
(3)轎車(chē)到達(dá)乙地后,馬上沿原路以CD段速度返回,求貨車(chē)從甲地出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間再與轎車(chē)相遇(結(jié)果精確到0.01).
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