Question

【題目】如圖，已知點A（0，1），C（4，3），E，P是以AC為對角線的矩形ABCD內部（不在各邊上）的一動點，點D在y軸上，拋物線y=ax2+bx+1以P為頂點．

（1）求證：A、C、E三點共線；

（2）設拋物線y=ax2+bx+1與x軸有交點F、G（F在G的左側），△GAO與△FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，試確定a、b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）﹣＜a＜﹣，＜b＜．

【解析】

試題分析：（1）說明點A、C、E在一條直線上，只要求出過A、C的直線的解析式，然后判斷E是否滿足函數(shù)的解析式就可以；

（2）連接GA、FA，已知△GAO與△FAO的面積差為3，而這兩個三角形的高相同是OA的長，等于1，因而就可以得到OG與OF的長度的一個關系式．拋物線y=ax2﹣6ax+1的頂點可以用a表示出來，頂點P在矩形ABCD的內部，即可以求出a的取值范圍．

解：（1）由題意，A（0，1）、C（4，3）兩點確定的直線解析式為：y=x+1，

將點E的坐標（，），代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=，

∵左邊=右邊，

∴點E在直線y=x+1上，

即點A、C、E在一條直線上；

（2）連接GA、FA．

∵S△GAO﹣S△FAO=3

∴GOA0=FOAO=3．

∵OA=1，

∴GO﹣FO=6．

設F（x1，0），G（x2，0），

則x1、x2是方程ax2+bx+1=0的兩個根，且x1＜x2，

又∵a＜0

∴x1x2=＜0，

∴GO=x2、FO=﹣x1

∴x2﹣（﹣x1）=6，即x2+x1=6

∵x2+x1=﹣，

∴﹣=6，

∴拋物線的解析式為：y=ax2﹣6ax+1，其頂點P的坐標為（3，1﹣9a）

∵頂點P在矩形ABCD的內部，

∴1＜1﹣9a＜3，

∴﹣＜a＜0①

由方程組，

得：ax2﹣（6a+）x=0，

∴x=0或x==6+，

當x=0時，即拋物線與線段AE交于點A，而這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，

則有：0＜6+＜，

解得：﹣≤a＜﹣，

綜合①②，得﹣＜a＜﹣，

∵b=﹣6a，

∴＜b＜．