Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C，連接BC，以線段BC為直徑作⊙M，過(guò)點(diǎn)C作直線CE∥AB，與拋物線和⊙M分別交于點(diǎn)D，E.

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求線段DE的長(zhǎng)；

（3）在BC下方的拋物線上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是m，△PBC的面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）2；（3），當(dāng)m＝2時(shí)，S有最大值

最大值為3．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接BE，則四邊形OCEB為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知CE的長(zhǎng)度，由拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B可找出拋物線的對(duì)稱軸，結(jié)合點(diǎn)C在y軸上即可求出CD的長(zhǎng)度，再利用DE=CE-CD即可求出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)P、H的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OH、PH、BH的長(zhǎng)度，由拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OC的長(zhǎng)度，由S=S梯形OCPH+S△BPH-S△BOC可找出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法即可解決最值問(wèn)題．

（1）將A（2，0）、B（4，0）代入函數(shù)解析式 ，

解得： ，

∴該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為

（2）連接BE，如圖1所示．

∵線段BC為⊙M的直徑，
∴∠BEC=90°．
又∵CE∥AB，∠BOC=∠OCE=90°，
∴四邊形OCEB為矩形，
∴CE=OB=4．
∵拋物線y=x2-x-3與x軸相交于點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
又∵點(diǎn)C在y軸上，
∴CD=1×2=2，

∴DE=CE-CD=2．
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖2所示．
∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是m，點(diǎn)在BC下方的拋物線上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2-m-3）（0＜m＜4），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，0），
∴OH=m，BH=4-m，PH=-m2+m+3．
∵拋物線y=x2-x-3與y軸相交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OC=3，
∴S=S梯形OCPH+S△BPH-S△BOC，
=（OC+PH）OH+BHPH-OBOC，
=×（3-m2+m+3）×m+×（4-m）×（-m2+m+3）-×4×3，
=-m2+3m=-（m-2）2+3，
∵-＜0，
∴當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值，最大值為3．
綜上所述：S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-m2+3m（0＜m＜4），當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值，最大值為3．