Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/秒的速度沿AC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/秒的速度沿CB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作邊AB的垂線段PM、QN，垂足分別為點(diǎn)M、N．
設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4），四邊形MNQP的面積為Scm²．
（1）當(dāng)點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，t為何值時(shí)，△PCQ是直角三角形？
（2）求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式．
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的

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？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)PC=2CQ時(shí)以及當(dāng)2PC=CQ時(shí)，△PCQ是直角三角形分別求出即可；
（2）△APM和△BQN都是有一個(gè)角是60°的直角三角形，根據(jù)勾股定理可分別求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高M(jìn)N．用梯形面積公式求出四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)題意確定一個(gè)等量關(guān)系，列出方程即可解得t的值，然后看是否滿足0＜t＜4．

解答：解：（1）假設(shè)△PCQ為直角三角形，
①∵∠C=60°，
∴PC=2CQ
∴8-2t=2t，
解得t=2，
當(dāng)t=2時(shí)，△PCQ是直角三角形；
②當(dāng)2PC=CQ時(shí)，
由PC=2CQ可得：2（8-2t）=t，
解得t=

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5

，
∴當(dāng)t=

16

5

時(shí)，△PCQ是直角三角形；
綜上所述：t=2或

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5

時(shí)，△PCQ是直角三角形；


（2）根據(jù)題意得，AP=2t，QB=8-t，△APM和△QNB是直角三角形，四邊形MNQP是直角梯形．
在Rt△APM和Rt△QNB中PM=

3

t，AM=t，BN=

1

2

(8-t)，QN=

3

2

(8-t)，
所以MN=AB-AM-BN=4-

1

2

t，S=

1

2

(PM+QN)MN，
S=

1

2

[

3

t+

3

2

(8-t)]×(4-

1

2

t) S=-

3

8

t2+8

3

；

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的

7

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，
即S=

7

16

S_△ABC，-

3

8

t2+8

3

=

7

16

×

1

2

×8×4

3

，
整理得：t²=8，
解得，t1=2

2

，t2=-2

2

（舍去），
答：當(dāng)t=2

2

時(shí)，四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的

7

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，把函數(shù)和面積融合在一起，比較復(fù)雜，檢測(cè)學(xué)生的計(jì)算能力．