【題目】如圖,在△ABC中,ABAC,以AB為直徑的⊙OBC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,過(guò)DEFAC于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

1)求證:EF是⊙O的切線;

2)當(dāng)∠BAC60°,AB8時(shí),求EG的長(zhǎng);

3)當(dāng)AB5BC6時(shí),求tanF的值.

【答案】1)見(jiàn)解析;(22;(3tanF

【解析】

1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB=C,證出ODAC,再由已知得出EFOD,即可證出EF是⊙O的切線;

2)連接BG、AD,由圓周角定理得出∠AGB=ADB=90°,即BGAC,ADBC,由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD,證出△ABC是等邊三角形,得出AC=AC=8,證出EFBG,由平行線得出CEEG=CDBD,證出CE=EG,由等腰三角形的性質(zhì)得出,即可得出EG的長(zhǎng);

3)由等腰三角形的性質(zhì)得出,由勾股定理求出,由三角函數(shù)求出,得出,再由勾股定理求出,由平行線得出△ODF∽△AEF,得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出,在RtODF中,由三角函數(shù)定義即可得出答案.

解(1)證明:如圖1,連接OD,

ABAC

∴∠C=∠OBD,

ODOB,

∴∠ODB=∠OBD,

∴∠ODB=∠C,

ODAC,

EFAC,

EFOD,

EF是⊙O的切線;

2)如圖2,連接BG、AD

AB是⊙O的直徑,

∴∠AGB=∠ADB90°,

BGACADBC,

ABAC,∠BAC60°,

BDCD,△ABC是等邊三角形,

ACAC8,

EFAC,

EFBG,

CEEGCDBD,

CEEG,

BGAC,

CGAGAC4,

EGCG2

3)解:∵ADBC,CDBDBC3,

AD4sinC,

DECD×3

AE,

ODAC

∴△ODF∽△AEF,

,即

解得:DF,

RtODF中,ODAB,

tanF

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求拋物線的解析式;

2)若動(dòng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)的拋物線上,過(guò)動(dòng)點(diǎn)Px軸的垂線交直線AC于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,垂足為E,求線段PD的長(zhǎng),當(dāng)線段PD最長(zhǎng)時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)是否存在點(diǎn)P,使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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