Question

如圖，拋物線y＝x²＋bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A(－1，0)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

(3)點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM＋DM的值最小時(shí)，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=x²+bx-2上，

∴×（-1）²+b×(-1)-2=0,b=-

∴拋物線的解析式為y=x²-x-2.          

y=x²-x-2=(x²-3x-4)=(x-)²-,

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (,-).                

(2)當(dāng)x=0時(shí)y=-2, ∴C（0，-2），OC=2。

當(dāng)y=0時(shí)，x²-x-2=0，∴x₁=-1,x₂=4, ∴B(4,0). 

∴OA=1,OB=4,AB=5.

∵AB²=25,AC²=OA²+OC²=5,BC²=OC²+OB²=20,

∴AC²+BC²=AB².∴△ABC是直角三角形.       

(3) 作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），O C′=2

連接C′D交x軸于點(diǎn)M，

根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最小。

解法一：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.

∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.

∴=

∴=,∴m=   

解法二：設(shè)直線的解析式為y=kx+n,

則，解得n=-2,k=-.

∴y=-x+2.

∴當(dāng)y=0時(shí)， -x+2=0，

x=.     ∴m=.