Question

16．長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a-3b|+（a+b-4）²=0．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？
（3）如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出其取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|a-3b|+（a+b-4）²=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，進(jìn)而得出a、b的值；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前，②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，分別求得t的值即可；
（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵a、b滿足|a-3b|+（a+b-4）²=0，
∴a-3b=0，且a+b-4=0，
∴a=3，b=1；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，
①當(dāng)0＜t＜60時(shí)，
3t=（20+t）×1，
解得t=10；
②當(dāng)60＜t＜120時(shí)，
3t-3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85；
③當(dāng)120＜t＜180時(shí)，
3t-360=t+20，
解得t=190＞180，（不合題意）
綜上所述，當(dāng)t=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；

（3）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BAC：∠BCD=3：2，
即2∠BAC=3∠BCD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)均等于0．