Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）如果拋物線(xiàn)y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于A、B兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），且m為正整數(shù)，求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)y=mx2+（3m+1）x+3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，設(shè)此拋物線(xiàn)在﹣3≤x≤﹣ 之間的部分為圖象G，如果圖象G向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與直線(xiàn)CD有公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由根的判別式，可得：△=（3m+1）2﹣4×m×3=（3m﹣1）2，

∵（3m﹣1）2≥0，

∴△≥0，

∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=﹣ ，

∵拋物線(xiàn)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，

∴m=1，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2+4x+3

（3）解：如圖，

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C（0，3），

∵當(dāng)y=0時(shí)，x1=﹣3，x2=﹣1，

又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），

∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴D（1，0），

設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直線(xiàn)CD的表達(dá)式為：y=﹣3x+3，

又∵當(dāng)x=﹣ 時(shí)，y= ，

∴點(diǎn)E（﹣ ， ），

∴平移后，點(diǎn)A，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′（﹣3+n，0），E′（﹣ +n， ），

當(dāng)直線(xiàn)y=﹣3x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′（﹣3+n，0）時(shí)，得：﹣3（﹣3+n）+3=0，解得：n=4，

當(dāng)直線(xiàn)y=﹣3x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)E′（﹣ +n， ），時(shí)，得：﹣3（﹣ +n）+3= ，解得：n= ，

∴n的取值范圍是 ≤n≤4．

【解析】（1）先求出根的判別式△，判斷△的取值范圍，即可得證；（2）根據(jù)求根公式表示出兩根，由題意，求出m的值，可得拋物線(xiàn)的解析式；（3）點(diǎn)求出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線(xiàn)CD的解析式，設(shè)平移后，點(diǎn)A，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′（﹣3+n，0），E′（﹣ +n， ），根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)上，求出取值范圍即可．