【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=12cm,BC=10cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段AC上由點(diǎn)A向點(diǎn)C 以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā).
(1)經(jīng)過(guò)2秒后,求證:∠DPQ=∠C.
(2)若△CPQ的周長(zhǎng)為18cm,問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后,△CPQ是等腰三角形?
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)經(jīng)過(guò)1秒或秒或秒時(shí),△CPQ是等腰三角形.
【解析】
(1)經(jīng)過(guò)1秒后,PB=2m,PC=8m,CQ=6m,由已知可得BD=PC,BP=CQ,∠ABC=∠ACB,即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可解答;
(2)可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts△CPQ是等腰三角形,則可知PB=2tcm,PC=8-3tcm,CQ=xtcm,據(jù)(1)同理可得當(dāng)BD=PC,BP=CQ或BD=CQ,BP=PC時(shí)△CPQ為等腰三角形,從而求得t的值.
(1)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)分別從B,A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí),
有BP=2×2=4cm,AQ=4×2=8cm,則CP=BC﹣BP=10﹣4=6cm,
CQ=AC﹣AQ=12﹣8=4cm,∵D是AB的中點(diǎn),
∴BD=AB=×12=6cm,
∴BP=CQ,BD=CP,
又∵△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BPD和△CQP中,
,
∴△BPD≌△CQP(SAS)
∴∠DPB=∠PQC,
∵∠B+∠PDB=∠DPQ+∠QPC,
∴∠DPQ=∠C;
(2)設(shè)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),
有BP=2t,AQ=4t
∴t的取值范圍為0<t≤3,
則CP=10﹣2t,CQ=12﹣4t,
∵△CPQ的周長(zhǎng)為18cm,
∴PQ=18﹣(10﹣2t)﹣( 12﹣4t)=6t﹣4,
要使△CPQ是等腰三角形,則可分為三種情況討論:
①當(dāng)CP=CQ時(shí),則有10﹣2t=12﹣4t,
解得:t=1.
②當(dāng)PQ=PC時(shí),則有6t﹣4=10﹣2t,
解得:t=;
③當(dāng)QP=QC時(shí),則有6t﹣4=12﹣4t,
解得:t=,
三種情況均符合t的取值范圍.
綜上所述,經(jīng)過(guò)1秒或秒或秒時(shí),△CPQ是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A、點(diǎn)C分別在y軸、x軸的正半軸上,OA,OC的長(zhǎng)分別是方程x2-7x+12=0的兩根(OA<OC).P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),直線PQ⊥OP交直線BC于點(diǎn)Q.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)(不與A,B重合)時(shí),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,線段CQ的長(zhǎng)度為l.求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式;
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D,使以O、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形為正方形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】①如圖,在△ABC中,∠A=55°,∠ABD=32°,∠ACB=70°,且CE平分∠ACB,求∠DEC的度數(shù).
②先化簡(jiǎn)再求值:化簡(jiǎn):,x=2020.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,E為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),D為AB上一點(diǎn),F為外一點(diǎn)且連接DF,BF.
(1)當(dāng)的度數(shù)是多少時(shí),四邊形ADFE為菱形,請(qǐng)說(shuō)明理由:
(2)當(dāng)AB= 時(shí),四邊形ACBF為正方形(請(qǐng)直接寫(xiě)出)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的頂點(diǎn)為P(﹣2,2),與y軸交于點(diǎn)A(0,3).若平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿直線移動(dòng)到點(diǎn)P′(2,﹣2),點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,則拋物線上PA段掃過(guò)的區(qū)域(陰影部分)的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E、F分別在線段BC、DC上,∠BAE=30°.若線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合,則旋轉(zhuǎn)的角度是( 。
A.30°B.45°C.60°D.90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,O為直線AB上一點(diǎn),∠AOC=30°,點(diǎn)C在AB的上方.MON為直角三角板,O為直角頂點(diǎn),,ON在射線OC上.將三角板MON繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),與此同時(shí),射線OC繞點(diǎn)O以每秒11°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí),所有運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,
(1)旋轉(zhuǎn)開(kāi)始前,∠MOC= °,∠BOM= °;
(2)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),OM轉(zhuǎn)動(dòng)了 °,t為 秒時(shí),OC與OM重合;
(3)t為何值時(shí),∠MOC=35°?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車,隨著汽車的普及,其價(jià)格也在不斷下降.今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬(wàn)元,如果賣出相同數(shù)量的A款汽車,去年銷售額為100萬(wàn)元,今年銷售額只有90萬(wàn)元.
(1)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元?
(2)為了增加收入,汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車,已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬(wàn)元,B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬(wàn)元,公司預(yù)計(jì)用不多于105萬(wàn)元且不少于99萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩款汽車共15輛,有幾種進(jìn)貨方案?
(3)如果B款汽車每輛售價(jià)為8萬(wàn)元,為打開(kāi)B款汽車的銷路,公司決定每售出一輛B款汽車,返還顧客現(xiàn)金a萬(wàn)元,要使(2)中所有的方案獲利相同,a值應(yīng)是多少?此時(shí),哪種方案對(duì)公司更有利?
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