【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A、點(diǎn)C分別在y軸、x軸的正半軸上,OA,OC的長(zhǎng)分別是方程x2-7x+12=0的兩根(OA<OC).P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),直線PQ⊥OP交直線BC于點(diǎn)Q.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)(不與A,B重合)時(shí),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,線段CQ的長(zhǎng)度為l.求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式;
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D,使以O、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形為正方形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)B(4,3);(2) ;(3)存在,D(3,-1)或(-3,7).
【解析】
(1)通過(guò)解方程求出線段的長(zhǎng)度,利用矩形的性質(zhì)得到AB=4,BC=3,求得B(4,3);
(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,用m表示出AP的長(zhǎng)度,利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式;
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OC于E,由以O、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形為正方形,得到OP=PQ=OD,通過(guò)三角形全等,對(duì)應(yīng)邊相等求得AP=m=1,再根據(jù)另一對(duì)三角形全等得到點(diǎn)D的坐標(biāo).
(1)解方程x2-7x+12=0得:x1=3,x2=4,
∴OA=3,OC=4,
∴A(0,3),C(4,0),
∵四邊形OABC為矩形,
∴AB=4,BC=3,
∴B(4,3);
(2)點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴AP=m,
∵CQ=l,
∴BQ=3-l,
∵∠OAP=∠B=∠OPQ=90°,
∴∠APO+∠BPQ=∠APO+∠AOP=90°,
∴∠APO=∠BPQ,
∴△APO∽△BPQ,
∴,
即,
∴;
(3)存在,
如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OC于E,
∵四邊形ODQP是正方形,
∴OP=PQ=OD,
在△AOP與△BPQ中,
,
∴△AOP≌△BPQ(AAS),
∴PB=OA=3,
∴AP=BP=1,
在△AOP與△OED中,
,
∴△AOP≌△OEP(AAS),
∴OE=AO=3,DE=AP=1,
∴D(3,-1).
若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊,同理可得D(-3,7)
綜上所述D(3,-1)或(-3,7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“母親節(jié)”前夕,我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛(ài)貧困母親”的活動(dòng),他們購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的“孝文化衫”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣(mài),要求每件銷(xiāo)售價(jià)格不得高于27元,并將所得利潤(rùn)捐給貧困母親。經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),若每件按22元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí),每天能賣(mài)出42件;若每件按25元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí),每天能賣(mài)出33件.假定每天銷(xiāo)售件數(shù)y(件)與銷(xiāo)售價(jià)格x(元/件)滿足一個(gè)以x為自變量的一次函數(shù).
(1)求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出x的取值范圍);
(2)在不積壓且不考慮其他因素的情況下,銷(xiāo)售價(jià)格定為多少元時(shí),才能使每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:已知實(shí)數(shù)m,n滿足(2m2+n2+1)(2m2+n2﹣1)=80,試求2m2+n2的值
解:設(shè)2m2+n2=t,則原方程變?yōu)椋?/span>t+1)(t﹣1)=80,整理得t2﹣1=80,t2=81,∴t=±9因?yàn)?/span>2m2+n2≥0,所以2m2+n2=9.
上面這種方法稱為“換元法”,把其中某些部分看成一個(gè)整體,并用新字母代替(即換元),則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.
根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容,解決下列問(wèn)題,并寫(xiě)出解答過(guò)程.
已知實(shí)數(shù)x,y滿足(4x2+4y2+3)(4x2+4y2﹣3)=27,求x2+y2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥BC交AC于點(diǎn)E,已知AD=AB,連接BE交AD于點(diǎn)F,下列結(jié)論:①BE=CE;②∠CAD=∠ABE;③S△ABF=3S△DEF;④△DEF∽△DAE,其中正確的有( 。
A. 1個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為推動(dòng)陽(yáng)光體育活動(dòng)的廣泛開(kāi)展,引導(dǎo)學(xué)生積極參加體育鍛煉,學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一批運(yùn)動(dòng)鞋供學(xué)生借用.現(xiàn)從各年級(jí)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的鞋號(hào),繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 人,圖①中的m的值為 ,圖①中“38號(hào)”所在的扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(2)本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)200雙運(yùn)動(dòng)鞋,建議購(gòu)買(mǎi)36號(hào)運(yùn)動(dòng)鞋多少雙?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí),合理利用水資源,某市采用價(jià)格調(diào)控的手段達(dá)到節(jié)水的目的,該市自來(lái)水收費(fèi)的價(jià)目表如下(注:水費(fèi)按月份結(jié)算,表示立方米)
請(qǐng)根據(jù)上表的內(nèi)容解答下列問(wèn)題:
(1)填空:若該戶居民2月份用水5m3,則應(yīng)交水費(fèi) 元;3月份用水8m3,則應(yīng)收水費(fèi) 元;
(2)若該戶居民4月份用水am3(其中a>10m3),則應(yīng)交水費(fèi)多少元(用含a的代數(shù)式表示,并化簡(jiǎn))?
(3)若該戶居民5、6兩個(gè)月共用水14m3(6月份用水量超過(guò)了5月份),設(shè)5月份用水xm3,直接寫(xiě)出該戶居民5、6兩個(gè)月共交水費(fèi)多少元(用含x的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一天,明明和強(qiáng)強(qiáng)相約到距他們村莊560米的博物館游玩,他們同時(shí)從村莊出發(fā)去博物館,明明到博物館后因家中有事立即返回.如圖是他們離村莊的距離y(米)與步行時(shí)間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象,若他們出發(fā)后6分鐘相遇,則相遇時(shí)強(qiáng)強(qiáng)的速度是_____米/分鐘.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)第五次、第六次全國(guó)人口普查結(jié)果顯示:某市常住人口總數(shù)由第五次的400萬(wàn)人增加到第六次的450萬(wàn)人,常住人口的學(xué)歷狀況統(tǒng)計(jì)圖如圖所示(部分信息未給出):
解答下列問(wèn)題:
(1)求第六次人口普查小學(xué)學(xué)歷的人數(shù),并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)求第五次人口普查中該市常住人口每萬(wàn)人中具有初中學(xué)歷的人數(shù);
(3)第六次人口普查結(jié)果與第五次相比,每萬(wàn)人中初中學(xué)歷的人數(shù)增加了多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=12cm,BC=10cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段AC上由點(diǎn)A向點(diǎn)C 以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā).
(1)經(jīng)過(guò)2秒后,求證:∠DPQ=∠C.
(2)若△CPQ的周長(zhǎng)為18cm,問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后,△CPQ是等腰三角形?
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