【題目】已知△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合),以AD為邊作菱形ADEF(A、D、E、F按逆時針排列),使∠DAF=60°,連接CF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時,求證:①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時,結(jié)論AC=CF+CD是否成立?若不成立,請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時,補(bǔ)全圖形,并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.
【答案】
(1)
證明:∵菱形AFED,
∴AF=AD,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中
,
∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC,
即①BD=CF,②AC=CF+CD
(2)
解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF﹣CD,
理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中
,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,
∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,
即AC=CF﹣CD
(3)
AC=CD﹣CF.理由是:
∵∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠DAB=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中
,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴CF=BD,
∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC,
即AC=CD﹣CF.
【解析】(1)根據(jù)已知得出AF=AD,AB=BC=AC,∠BAC=∠DAF=60°,求出∠BAD=CAF,證△BAD≌△CAF,推出CF=BD即可;(2)求出∠BAD=∠CAF,根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF,推出BD=CF即可;(3)畫出圖形后,根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF,推出CF=BD即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,D為△ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn),過D作DF⊥AC,垂足為F,交BC于E,且BD=BE,求證:△ABC是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AM∥CN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn),AB⊥BC于B.
(1)如圖1,直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系________;
(2)如圖2,過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D,求證:∠ABD=∠C;
(3)如圖3,在(2)問的條件下,點(diǎn)E、F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校八年級為了解學(xué)生課堂發(fā)言情況,隨機(jī)抽取該年級部分學(xué)生,對他們某天在課堂上發(fā)言的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計,其結(jié)果如下表,并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,已知B、E兩組發(fā)言人數(shù)的比為5:2,請結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問題:
發(fā)言次數(shù)n | |
A | 0≤n<3 |
B | 3≤n<6 |
C | 6≤n<9 |
D | 9≤n<12 |
E | 12≤n<15 |
F | 15≤n<18 |
(1)求出樣本容量,并補(bǔ)全直方圖;
(2)該年級共有學(xué)生500人,請估計全年級在這天里發(fā)言次數(shù)不少于12次的人數(shù);
(3)已知A組發(fā)言的學(xué)生中恰有1位女生,E組發(fā)言的學(xué)生中有2位男生.現(xiàn)從A組與E組中分別抽一位學(xué)生寫報告,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求所抽的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知ai≠0(i=1,2,…,2012)滿足 ,使直線y=aix+i(i=1,2,…,2012)的圖象經(jīng)過一、二、四象限的ai概率是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),點(diǎn)C在y軸的正半軸上,且∠ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),其頂點(diǎn)為M.
(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式;
(2)試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并加以證明;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得S△BCN=4?如果存在,那么這樣的點(diǎn)有幾個?如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1是一種包裝盒的表面展開圖,將它圍起來可得到一個幾何體的模型.
(1)這個幾何體模型的名稱是 .
(2)如圖2是根據(jù)a,b,h的取值畫出的幾何體的主視圖和俯視圖(圖中實(shí)線表示的長方形),請在網(wǎng)格中畫出該幾何體的左視圖.
(3)若h=a+b,且a,b滿足a2+b2﹣a﹣6b+10=0,求該幾何體的表面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊,隨著鐵釘?shù)纳钊耄F釘所受的阻力也越來越大.當(dāng)鐵釘未進(jìn)入木塊部分長度足夠時,每次釘入木塊的鐵釘長度是前一次的,已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進(jìn)入木塊(木塊足夠厚),且第一次敲擊后,鐵釘進(jìn)入木塊的長度是a(cm),若鐵釘總長度為6(cm),則a的取值范圍是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一動點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā),沿著箭頭所示方向,每次移動1個單位,依次得到點(diǎn),,,,,,···,則點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A. B. C. D.
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