【題目】如圖,拋物線y=- +mx+m+與x軸相交于點A、B(點A在B的左側(cè))與y軸相交于點C,頂點D在第一象限.
(1)求頂點D的坐標(用m 的代數(shù)式表示);
(2)當60°≤∠ADB≤90°時,求m的變化范圍;
(3)當△BCD的面積與△ABC的面積相等時,求m的值.
【答案】(1)D;(2);(3)
【解析】分析:(1)運用配方法改寫成頂點式,即可求出頂點D的坐標;
(2)先將y=﹣x2+mx+m+與x軸的交點A與B的坐標,得到DH,AH的長度,再由拋物線的對稱性可知當60°≤∠ADB≤90°時,30°≤∠ADH≤45°,然后根據(jù)30°,45°角的正切函數(shù)值及銳角三角函數(shù)的增減性即可求出m的變化范圍;
(3)設DH與BC交于點M,則點M的橫坐標為m.先運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,則可用含m的代數(shù)式表示點M的坐標,再根據(jù)S△DBC=S△ABC求出m的值.
詳解:(1)y=﹣x2+mx+m+=﹣(x﹣m)2+,∴頂點D(m,),即;D(m,).
(2)過D作DH⊥x軸于H.令y=﹣x2+mx+m+=0,解得:x=﹣1或2m+1,
則與x軸的交點A(﹣1,0),B(2m+1,0),∴DH=,AH=m﹣(﹣1)=m+1,∴tan∠ADH==.
當60°≤∠ADB≤90°時,由對稱性得30°≤∠ADH≤45°,∴當∠ADH=30°時,=,∴m=2﹣1,當∠ADH=45°時,=1,∴m=1,∴1≤m≤2﹣1;
(3)設DH與BC交于點M,則點M的橫坐標為m.
設過點B(2m+1,0),C(0,m+)的直線解析式為;y=kx+b,則,解得,即y=﹣x+m+.
當x=m時,y=﹣m+m+=,∴M(m,),∴DM=﹣=,AB=(2m+1)﹣(﹣1)=2m+2.
又∵S△DBC=S△ABC,∴(2m+1)=(2m+2)(m+).解得:m=-1,m=-,m=2.又∵拋物線的頂點D在第一象限,∴m>0,解得
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【題目】(1)以a,b為直角邊,c為斜邊作兩個全等的Rt△ABE與Rt△FCD拼成如圖1所示的圖形,使B,E,F,C四點在一條直線上(此時E,F重合),可知△ABE ≌△FCD,AEDF,請你證明:;
(2)在(1)中,固定△FCD,再將△ABE沿著BC平移到如圖2的位置(此時B,F重合),請你重新證明:.
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【題目】如圖,已知線段a,直線AB和CD相交于點O.利用尺規(guī)按下列要求作圖:
(1)在射線OA、OB、OC、OD上作線段OA′、OB′、OC′、OD′,使它們分別與線段a相等;
(2)連接A′C′、C′B′、B′D′、D′A′.你得到了一個怎樣的圖形?
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【題目】如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點.
求證:(1)△ACE≌△BCD;(2).
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【題目】如圖,直線y=-x+6與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于A(3-,a)和B兩點.
(1)求k的值;
(2)直線x=m與直線AB相交于點M,與反比例函數(shù)的圖象相交于點N.若MN=1,求m的值;
(3)直接寫出不等式>x的解集.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,等邊三角形ABC的頂點B,C的坐標分別為(1,0),(3,0),過坐標原點O的一條直線分別與邊AB,AC交于點M,N,若OM=MN,則點M的坐標為______________.
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【題目】如圖,已知,,平分.
(1)若,則_______°,_______°;
(2)若,則________°,________°;
(3)若,,請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,矩形的兩邊,的長分別為3,8,且點,均在軸的負半軸上,是的中點,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,與交于點.
(1)若點坐標為,求的值;
(2)若,且點的橫坐標為,則點的橫坐標為______(用含的代數(shù)式表示),點的縱坐標為______,反比例函數(shù)的表達式為______.
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【題目】下圖是某同學在沙灘上用石于擺成的小房子.
觀察圖形的變化規(guī)律,寫出第n個小房子用了___________________塊石子.
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