Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=12cm，AC是⊙O的弦，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，連接BC．

（1）求證：∠PCA=∠B；

（2）已知∠P=40°，點Q在優(yōu)弧ABC上，從點A開始逆時針運動到點C停止（點Q與點C不重合），當△ABQ與△ABC的面積相等時，求動點Q所經(jīng)過的弧長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）或或．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由PC是⊙O的切線，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直徑，得到∠2+∠B=90°，從而得到結(jié)論；

（2）△ABQ與△ABC的面積相等時，有三種情況，即：①當∠AOQ=∠AOC=50°時；②當∠BOQ=∠AOC=50°時；③當∠BOQ=50°時，即∠AOQ=230°時；分別求得點Q所經(jīng)過的弧長即可．

試題解析：（1）連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；

（2）解：∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，∵AB=12，∴AO=6，

①當∠AOQ=∠AOC=50°時，△ABQ與△ABC的面積相等，∴點Q所經(jīng)過的弧長==；

②當∠BOQ=∠AOC=50°時，即∠AOQ=130°時，△ABQ與△ABC的面積相等，∴點Q所經(jīng)過的弧長==；

③當∠BOQ=50°時，即∠AOQ=230°時，△ABQ與△ABC的面積相等，∴點Q所經(jīng)過的弧長==；

綜上所述，當△ABQ與△ABC的面積相等時，動點Q所經(jīng)過的弧長為或或．