Question

【題目】如圖1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．

（1）求證： ；
（2）由（1）中的結(jié)論可知，等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角∠A的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定，我們把這個(gè)比值記作T（A），即T（A）= 的對(duì)邊（底邊）/的領(lǐng)邊（腰）= ，如T（60°）=1．
①理解鞏固：T（90°）= ， T（120°）= ， 若α是等腰三角形的頂角，則T（α）的取值范圍是；
②學(xué)以致用：如圖2，圓錐的母線長(zhǎng)為9，底面直徑PQ=8，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)（精確到0.1）．
（參考數(shù)據(jù)：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB=AC，DE=DF，

∴ ，

又∵∠A=∠D，

∴△ABC∽△DEF，

∴

（2）；；0＜T（α）＜2
【解析】（2）①如圖1，

∠A=90°，AB=AC，
則 = ，
∴T（90°）= ，
如圖2，

∠A=90°，AB=AC，
作AD⊥BC于D，
則∠B=60°，
∴BD= AB，
∴BC= AB，
∴T（120°）= ；
∵AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
∴0＜T（α）＜2，
所以答案是： ； ；0＜T（α）＜2；
②∵圓錐的底面直徑PQ=8，
∴圓錐的底面周長(zhǎng)為8π，即側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為8π，
設(shè)扇形的圓心角為n°，
則 =8π，
解得，n=160，
∵T（160°）≈1.97，
∴螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為1.97×9≈17.7．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．