【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線 經(jīng)過點A(0,2)和B(1, ).
(1)求該拋物線的表達式;
(2)已知點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱,點D在拋物線上,且點D的橫坐標為4,求點C與點D的坐標;
(3)在(2)的條件下,將拋物線在點A,D之間的部分(含點A,D)記為圖象G,如果圖象G向下平移t(t>0)個單位后與直線BC只有一個公共點,求t的取值范圍.

【答案】
(1)解:把A(0,2)和B(1, )代入 ,解得

所以拋物線解析式為y= x2﹣x+2


(2)解:∵y= x2﹣x+2= (x﹣1)2+

∴拋物線的對稱軸為直線x=1,

∵點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱,

∴C點坐標為(2,2);

當x=4時,y= x2﹣x+2=8﹣4+2=6,

∴D點坐標為(4,6)


(3)解:如圖,

設直線BC的解析式為y=mx+n,

把B(1, ),C(2,2)代入得 ,解得

∴直線BC的解析式為y= x+1,

當x=0時,y= x+1=1,

∴點圖象G向下平移1個單位時,點A在直線BC上,

當x=4時,y= x+1=3,

∴點圖象G向下平移3個單位時,點D在直線BC上,

∴當1<t≤3時,圖象G向下平移t(t>0)個單位后與直線BC只有一個公共點.


【解析】(1)利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)把二次函數(shù)的解析式化成頂點式,再利用拋物線的對稱性可求出點C的坐標;把x=4代入二次函數(shù)的解析式可求出縱坐標;
(3)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,由x=0、x=4分別求出y的值,從而可知點A、D在直線BC上,進而可得t的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識,掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習冊系列答案
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(3)如圖2,如果30°<α<60°,寫出判斷線段DE,BF,DF之間數(shù)量關系的思路;(可以不寫出證明過程)

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