【題目】如圖,拋物線y1=x2﹣1交x軸的正半軸于點A,交y軸于點B,將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2 , 兩條拋物線相交于點C.
(1)請直接寫出拋物線y2的解析式;
(2)若點P是x軸上一動點,且滿足∠CPA=∠OBA,求出所有滿足條件的P點坐標;
(3)在第四象限內(nèi)拋物線y2上,是否存在點Q,使得△QOC中OC邊上的高h有最大值?若存在,請求出點Q的坐標及h的最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:拋物線y1=x2﹣1向右平移4個單位的頂點坐標為(4,﹣1),
所以,拋物線y2的解析式為y2=(x﹣4)2﹣1
(2)
解:x=0時,y=﹣1,
y=0時,x2﹣1=0,解得x1=1,x2=﹣1,
所以,點A(1,0),B(0,﹣1),
∴∠OBA=45°,
聯(lián)立 ,
解得 ,
∴點C的坐標為(2,3),
∵∠CPA=∠OBA,
∴點P在點A的左邊時,坐標為(﹣1,0),
在點A的右邊時,坐標為(5,0),
所以,點P的坐標為(﹣1,0)或(5,0)
(3)
解:存在.
∵點C(2,3),
∴直線OC的解析式為y= x,
設(shè)與OC平行的直線y= x+b,
聯(lián)立 ,
消掉y得,2x2﹣19x+30﹣2b=0,
當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根時,△QOC中OC邊上的高h有最大值,
此時x1=x2= ×(﹣ )= ,
此時y=( ﹣4)2﹣1=﹣ ,
∴存在第四象限的點Q( ,﹣ ),使得△QOC中OC邊上的高h有最大值,
此時△=192﹣4×2×(30﹣2b)=0,
解得b=﹣ ,
∴過點Q與OC平行的直線解析式為y= x﹣ ,
令y=0,則 x﹣ =0,解得x= ,
設(shè)直線與x軸的交點為E,則E( ,0),
過點C作CD⊥x軸于D,根據(jù)勾股定理,OC= = ,
則sin∠COD= = ,
解得h最大= × = .
【解析】(1)寫出平移后的拋物線的頂點坐標,然后利用頂點式解析式寫出即可;(2)根據(jù)拋物線解析式求出點A、B的坐標,然后求出∠OBA=45°,再聯(lián)立兩拋物線解析式求出交點C的坐標,再根據(jù)∠CPA=∠OBA分點P在點A的左邊和右邊兩種情況求解;(3)先求出直線OC的解析式為y= x,設(shè)與OC平行的直線y= x+b,與拋物線y2聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)與OC的距離最大時方程有且只有一個根,然后利用根的判別式△=0列式求出b的值,從而得到直線的解析式,再求出與x軸的交點E的坐標,得到OE的長度,再過點C作CD⊥x軸于D,然后根據(jù)∠COD的正弦值求解即可得到h的值.
【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點M(﹣2, ),頂點坐標為N(﹣1, ),且與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為拋物線對稱軸上的動點,當△PBC為等腰三角形時,求點P的坐標;
(3)在直線AC上是否存在一點Q,使△QBM的周長最?若存在,求出Q點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,過點A、C、D作拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),與x軸的另一交點為E,連結(jié)CE,點A、B、D的坐標分別為(﹣2,0)、(3,0)、(0,4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知拋物線的對稱軸l交x軸于點F,交線段CD于點K,點M、N分別是直線l和x軸上的動點,連結(jié)MN,當線段MN恰好被BC垂直平分時,求點N的坐標;
(3)在滿足(2)的條件下,過點M作一條直線,使之將四邊形AECD的面積分為3:4的兩部分,求出該直線的解析式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,貨輪O在航行過程中,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上,同時,在它北偏東30°、西北(即北偏西45°)方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C.
(1)請分別在圖①中畫出表示客輪B和海島C方向的射線OB,OC(不寫作法);
(2)若圖中有一艘漁船D,且∠AOD的補角是它的余角的3倍,在圖②中畫出表示漁船D方向的射線OD,并求漁船D在貨輪O的方位角.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,E為CD上一點,連接AE、BD,且AE、BD交于點F,S△DEF:S△ABF=4:25,則DE:EC=( )
A.2:5
B.2:3
C.3:5
D.3:2
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【題目】甲、乙兩個公共汽車站相向發(fā)車,一人在街上行走,他發(fā)現(xiàn)每隔8分鐘就迎面開來一輛公交車,每隔24分種從背后開來一輛公交車,如果車站發(fā)車的間隔時間相同,各車的速度相同,那兩車站發(fā)車的間隔時間為( 。
A. 18分鐘 B. 10分鐘 C. 12分鐘 D. 16分鐘
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為方便市民出行,減輕城市中心交通壓力,某市正在修建貫穿全城南北、東西的地鐵1,2號線.已知修建地鐵1號線24千米和2號線22千米共需投資265億元,且1號線每千米的平均造價比2號線每千米的平均造價多0.5億元.
(1)求1號線、2號線每千米的平均造價分別是多少億元;
(2)除1,2號線外,該市規(guī)劃到2019年還要再建91.8千米的地鐵線網(wǎng).據(jù)預算,這91.8千米地鐵線網(wǎng)每千米的平均造價是1號線每千米的平均造價的1.2倍,則還需投資多少億元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,雙曲線 (k>0)與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.
(1)若E是AB的中點,求F點的坐標;
(2)若將△BEF沿直線EF對折,B點落在x軸上的D點,作EG⊥OC,垂足為G,證明△EGD∽△DCF,并求k的值.
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