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【題目】探究:小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發(fā)現(xiàn),對于平面直角坐標系內任意兩點P1x1,y1,P2x2,y2,可通過構造直角三角形利用圖1得到結論:,他還利用圖2證明了線段P1P2的中點Px,y的坐標公式:

1)已知點M2,1,N2,5,則線段MN長度為

2)請求出以點A2,2,B2,0,C3,1,D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標;

3)如圖3OL滿足y2xx0,點P2,1OLx軸正半軸所夾的內部一點,請在OL、x軸上分別找出點EF,使PEF的周長最小,求出周長的最小值.

【答案】1;(2)(-3,3)或(7,1)或(-1,-3);(3)△PEF周長的最小值是4.

【解析】

1)直接利用兩點間距離公式可求得MN的長;

2)分AB、AC、BC為對角線,可求得其中心的坐標,再利用中點坐標公式可求得D點坐標;

3)設P點關于x軸的對稱點為P1,P點關于直線y=2x的對稱點為P2,連接PP1x軸于點H,連接PP2交直線y=2x于點G,連接P1P2,分別交x軸、直線y=2x于點F、E,由對稱性知此時△PEF的周長最小,等于P1P2的長;由于PP2OG,于是根據兩直線垂直有,可設直線PP2的解析式為,把P點坐標代入可求得b,于是直線PP2的解析式可得,聯(lián)立直線PP2OG的解析式可求得G點坐標,因為GPP2的中點,由中點坐標公式可求得P2點的坐標,而P1的坐標為(2,-1),最后再用兩點間距離公式求出即可.

解:(1)∵M2,﹣1),N(﹣2,5),

MN==

故答案為:;

2)∵A2,2),B(﹣2,0),C3,﹣1),

∴當AB為平行四邊形的對角線時,其對稱中心坐標為(0,1),

Dx,y),則x+3=0,y+(﹣1=2,解得x=3,y=3

∴此時D點坐標為(﹣3,3);

AC為對角線時,同理可求得D點坐標為(71);

BC為對角線時,同理可求得D點坐標為(﹣1,﹣3),

綜上可知D點坐標為(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);

3)如圖,設P點關于x軸的對稱點為P1,P點關于直線y=2x的對稱點為P2,連接PP1x軸于點H,連接PP2交直線y=2x于點G,連接P1P2,分別交x軸、直線y=2x于點F、E,由對稱性知,PE=P2E,PF=P1FPE+EF+PF=P2E+EF+P1F=P1P2,

此時△PEF的周長最小,等于P1P2的長.

PP2OGOG的解析式為y=2x,

∴可設直線PP2的解析式為,

P點坐標(2,1)代入上述解析式,得b=2,

∴直線PP2的解析式為

聯(lián)立方程組,解得.

G點的坐標為(.

P2點的坐標為(a,b),因為GPP2的中點,所以,

解得:,所以P2點的坐標為(),

又因為P1的坐標是(2,1),

所以由兩點距離公式,得.

故△PEF周長的最小值是4.

練習冊系列答案
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在數學課上,老師提出如下問題:

尺規(guī)作圖:作一條線段的垂直平分線.

已知:線段AB.

求作:線段AB的垂直平分線.

小紅的作法如下:

如圖,①分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點C;

②再分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑(不同于①中的半徑)作弧,兩弧相交于點D,使點D與點C在直線AB的同側;

③作直線CD.

所以直線CD就是所求作的垂直平分線.

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請回答:小紅的作圖依據是_____

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1)這次統(tǒng)計共抽查了 名學生;

2)在扇形統(tǒng)計圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數為 度;

3)將條形統(tǒng)計圖補充完整;

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①依題意補全圖形;

②求證:BF=DE.

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